logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5763

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

zbigniew86
postów: 9
2018-06-10 11:44:04

Cześć
Proszę o rozwiązanie poniższych całek nieoznaczonych z funkcji wymiernych:

1) całka z (12-6x^2)/((4-x^2)*(1-x^2)) po dx
2) całka z (x^4+8x+3)/(x*(x-1)^3) po dx
3) całka z (x^4+1)/(x^3-x^2+x-1) po dx

Rozwiązywałem te całki i częściowo mam inne wyniki niż w odpowiedziach dlatego proszę o pomoc. Chcę sprawdzić czy ja źle rozwiązuje czy błąd w książce. Na razie nie chce sugerować sposobu postępowania.

Pozdrawiam i z góry dzięki za odpowiedzi.


Wiadomość była modyfikowana 2018-06-10 12:00:36 przez zbigniew86

tumor
postów: 8085
2018-06-10 14:22:29

Myślę, że jeśli potrzebujesz sprawdzenia Twoich obliczeń, najrozsądniej będzie dać tu obliczenia i ktoś sprawdzi. Jest niezupełnie fajne, żeby ktoś powtarzał Twoje obliczenia od nowa (przy całej nudzie rozkładania na ułamki proste), bo chcesz sobie sprawdzić. Skądinąd w netach są kalkulatory całek, które całkę wymierną bez problemu policzą, więc będzie wiadomo, czy odpowiedź masz dobrą czy nie.

Zdanie o "sugerowaniu sposobu postępowania" brzmi złowieszczo.


zbigniew86
postów: 9
2018-06-10 16:35:20

Dzięki za odp tumor. Znalazłem kalkulator całek (wynik pokazuje zgodny z odp. w ks.). Przyjrzałem się jeszcze raz i znalazłem błędy w swoim rozwiązaniu pierwszej całki, poniżej prawidłowe rozwiązanie 1 całki:

$\int_{}^{}\frac{(12-6x^2)}{(4-x^2)(1-x^2)}=

\int_{}^{}\frac{(12-6x^2)}{(-x+2)(x+2)(-x+1)(x+1)}=$

Rozkład na ułamki proste:
$\frac{(12-6x^2)}{(-x+2)(x+2)(-x+1)(x+1)}=\frac{A}{-x+2}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{-x+1}+\frac{D}{x+1}$

$12-6x^2=A(x+2)(-x+1)(x+1)+B(-x+2)(-x+1)(x+1)+C(-x+2)(x+2)(x+1)+D(-x+2)(x+2)(-x+1)$

Metoda wartości dowolnych
dla x= -2 : B=1
dla x= 2 : A=1
dla x= 1 : C=1
dla x= -1 : D=1

$=\int_{}^{}\frac{dx}{-x+2}+\int_{}^{}\frac{dx}{x+2}+\int_{}^{}\frac{dx}{-x+1}+\int_{}^{}\frac{dx}{x+1}=-ln(-x+2)+ln(x+2)-ln(-x+1)+ln(x+1)=$

$=ln(x^2+3x+2)-ln(x^2-3x+2)=ln(\frac{x^2+3x+2}{x^2-3x+2})+C$

Wiem, że rozwiązywanie tych całek to żmudna robota (tym bardziej wpisywanie to tutaj).

Jak nie znajdę rozwiązania dla pozostałych dwóch całek to wpiszę co mam i najwyżej poprawicie mnie. Pozdro





tumor
postów: 8085
2018-06-10 17:38:58

Dziękuję za prawidłowe rozwiązanie (nie sprawdzam, skoro mówisz, że już nie trzeba). Błędy w książkach się zdarzają, ale o wiele częściej się je robi samemu w mnożeniu liczb jednocyfrowych. ;)

No i wystarczy, jeśli napiszesz same ułamki proste i ostateczny wynik, do sprawdzenia nie potrzeba więcej.


zbigniew86
postów: 9
2018-06-11 20:17:53

Całka nr 2:
$\int_{}^{}\frac{(x^4+8x+3)dx}{x(x-1)^3}=\int_{}^{}\frac{(x^4+8x+3)dx}{x(x-1)(x-1)^2}=\int_{}^{}\frac{(x^4+8x+3)dx}{(x^2-x)(x^2-2x+1)}=\int_{}^{}\frac{(x^4+8x+3)dx}{x^4-3x^3+3x^2-x}=$

Z dzielenia wielomianów wychodzi:

$=\int_{}^{}1dx+3\int_{}^{}\frac{(x^3-x^2+3x+1)dx}{x(x-1)(x-1)^2}=$

Rozkład na ułamki proste (i teraz która opcja??? próbowałem różnych, chyba wszystkich... nic z tego...):
1) $\frac{(x^3-x^2+3x+1)}{x(x-1)(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}$

2) $\frac{(x^3-x^2+3x+1)}{x(x-1)(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}$

3) $\frac{(x^3-x^2+3x+1)}{x(x-1)(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx+D}{x^2-2x+1}$

4) $\frac{(x^3-x^2+3x+1)}{x(x-1)(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x-1}$

Odpowiedź w książce: $x+3ln\frac{(x-1)^2}{x}-\frac{6}{(x-1)^2}+C$

Odpowiedź wg kalkulatora całek z neta: $x-\frac{6}{(x-1)^2}+6log(1-x)-3log(x)+C$




tumor
postów: 8085
2018-06-11 21:33:18

ułamek
$\frac{x^3-x^2+3x+1}{x(x-1)^3}$
ma być rozpisany jako
$\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)^2}+\frac{D}{(x-1)^3}$


Odpowiedzi z książki i kalkulatora są "takie same", bo
$6log(1-x)=3log(1-x)^2$
oraz
$(1-x)^2=(x-1)^2$
Czy tam jednak nie ma wartości bezwzględnej nigdzie?


Aha. Po polsku ln to logarytm naturalny a log dziesiętny, ale po angielsku log to logarytm naturalny, a nie dziesiętny.




zbigniew86
postów: 9
2018-06-12 20:13:27

Teraz wszystko pasuje. Tak jest wartość bezwzględna, w mianowniku:

$x+3ln\frac{(x-1)^2}{|x|}-\frac{6}{(x-1)^2}+C$

===========================
Czas na całkę nr 3:
$\int_{}^{}\frac{(x^4+1)dx}{x^3-x^2+x-1}=$

Po dwukrotnym dzieleniu wielomianów wychodzi:
$\frac{x^2}{2}+x+2\int_{}{}\frac{dx}{x^3-x^2+x-1}=\frac{x^2}{2}+x+2\int_{}{}\frac{dx}{(x^2+1)(x-1)}=$

Rozkład na ułamki proste:
$\frac{1}{(x^2+1)(x-1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

Współczynniki wychodzą: A=1/2 ; B=-1/2 ; C=-1/2

$=\frac{x^2}{2}+x+2(\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{dx}{x-1}+\int_{}^{}\frac{-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}{1+x^2})=$

$=\frac{x^2}{2}+x+\int_{}^{}\frac{dx}{x-1}-\int_{}^{}\frac{x+1}{1+x^2}dx=$

$=\frac{x^2}{2}+x+ln|x-1|-\int_{}^{}\frac{x+1}{1+x^2}dx=$

Ponowny rozkład funkcji podcałkowej:
Ponieważ w mianowniku funkcji podcałkowej delta<0 ==> wzór
$\int_{}^{}\frac{x+1}{x^2+1}=\alpha\int_{}^{}\frac{2x}{x^2+1}dx+\beta\int_{}^{}\frac{dx}{x^2+1}$


Współczynniki $\alpha=1/2 ; \beta=1 $


$\int_{}^{}\frac{x+1}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{2x}{x^2+1}dx+\int_{}^{}\frac{dx}{x^2+1}=\frac{1}{2}ln(x^2+1)+arctgx$


Ostatecznie:
$=\frac{x^2}{2}+x+ln|x-1|-\frac{1}{2}ln(x^2+1)-arctgx+C=$

$=\frac{x^2}{2}+x+ln|x-1|-ln(x^2+1)^{1/2}-arctgx+C=$

$=\frac{x^2}{2}+x+ln\frac{|x-1|}{\sqrt{x^2+1}}-arctgx+C$


Odpowiedź zgodna z książką

Dzięki tumor.








strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj