logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 577

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

natalia1992
postów: 26
2012-10-30 20:09:24

Wykazać, że w dowolnym wielościanie znajdziemy dwie ściany,
które są wielokątami o takie samej liczbie boków.


tumor
postów: 8085
2012-10-30 20:55:48

Dla wielościanów wypukłych dowodzić można tak:

Załóżmy, że mamy wielościan, w którym każda ściana graniczy z inną liczbą ścian (czyli każda ściana jest wielokątem o innej liczbie boków). Wtedy istnieje ściana, która ma najwięcej boków (i najwięcej sąsiadów).
Niech to będzie n boków.
Wówczas ta ściana ma oczywiście n sąsiadów. Wszystkie sąsiednie ściany mają jednak co najmniej 3 boki, a zarazem mniej niż n boków. Nie da się znaleźć n różnych liczb naturalnych większych od 2, ale mniejszych od n. Któraś liczba (oznaczająca ilość boków) musi się powtórzyć.

W przypadku wielościanów, które nie są wypukłe, nie jest wcale powiedziane, że ściana n-kątna ma n sąsiadów. Dowód nie będzie poprawny, a możliwe, że w ogóle podobne twierdzenie nie będzie poprawne, czego mi się sprawdzać nie chce. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 22 drukuj