logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5770

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dziewczyna94
postów: 3
2018-06-16 20:40:38

Proszę o przetłumaczenie lematu z angielskiego na polski.
Let K be the field of fractions of R. If P(x)\in R[x] factors in K[x] then P(x) factors in R[x] with factors of the same degrees as the K[x] factors. In particular, if P(x)\in R[x] is irreducible then P(x) is also irreducible in K[x].


tumor
postów: 8085
2018-06-17 08:12:43

Niech $K$ będzie ciałem ułamków pierścienia $R$. Jeśli $P(x) \in R[x]$ rozkłada się w $K[x]$, wówczas $P(x)$ rozkłada się w $R[x]$ na czynniki o tych samych stopniach co w przypadku $K[x]$. W szczególności, jeśli $P(x)\in R[x]$ jest nierozkładalny, wówczas $P(x)$ jest również nierozkładalny w $K[x]$.


dziewczyna94
postów: 3
2018-06-17 13:46:10

Dziękuje za pomoc. Wie Pan gdzie mogę znaleźć ten dowód bo zrobiłam ale nie jestem pewna czy na pewno dobrze mam.


tumor
postów: 8085
2018-06-18 08:44:31

Nie wiem, pewnie jakieś podręczniki z podstaw algebry to mają, ale które dokładnie, tego nie powiem.

Możesz zawsze tu wrzucić dowód, to się sprawdzi.


dziewczyna94
postów: 3
2018-06-18 14:50:11

Dowód
Każdy element z K[x] można zapisać w postaci (A(x)/a) gdzie A(x)\in R[x] oraz a\in R. Załóżmy, że w K[x] ,mamy P(x)=(A(x)/a)(B(x)/b), gdzie a,b\in R oraz A(x),B(x)\in R[x]. Wówczas abP(x)=A(x)B(x)\in R[x]. Rozwazmy nierozkładalność p oraz ab. Nastepnie A(x)B(x)=0 w (R/p)[x]. Zatem p albo dzieli wszystkie współczynniki A(x) albo dzieli wszystkie współczynniki B(x). i na tym utknęlam


tumor
postów: 8085
2018-06-20 11:35:40

Skoro pokażesz, że wszystkie współczynniki $A$ lub wszystkie $B$ dzielą się przez $p$, to można obie strony równania
$abP(x)=A(x)B(x)$ skrócić przez $p$.

Lemat nie mówi, jaki pierścień rozważamy. Zapewne wcześniej w treści było coś na ten temat (pierścień z jednoznacznością rozkładu?).

Hungerford ("Algebra", strona 163) proponuje popatrzeć na to tak:
$C(P)$ niech oznacza NWD współczynników wielomianu $P$ (istnieje w pierścieniach z jednoznacznością rozkładu)
$P(x)\in R[x]$,stopień $P$ dodatni,
$A(x),B(x)\in K[x]$, stopnie $A,B$ dodatnie
$P(x)=A(x)B(x)$
$A(x)=\sum \frac{\alpha_i}{a_i}x^i$
Niech $a=a_0a_1...a_{deg(A)}$
$A_1(x)=aA(x)\in R[x]$
$A_2$ niech powstanie z $A_1$ przez podzielenie współczynników przez $C(A_1)$, czyli
$C(A_1)A_2=A_1=aA$, mamy $A_2\in R[x]$ oraz $C(A_2)=1$
analogicznie dostaniemy
$C(B_1)B_2=B_1=bB$, mamy $B_2\in R[x]$ oraz $C(B_2)=1$

$abP=abAB=C(A_1)C(B_1)A_2B_2$ i oczywiście stopnie $A,A_2$ równe, $B,B_2$ równe.

Korzystając z faktu $C(A_2B_2)=C(A_2)C(B_2)$ (u Hungerforda lemat 6.11 strona 162) dostajemy
$ab \approx abC(P) C(abP) \approx C(C(A_1)C(B_1)A_2B_2) \approx C(A_1)C(B_1)C(A_2B_2) \approx C(A_1)C(B_1)$
gdzie $\approx$ jest relacją stowarzyszenia.

Wobec tego $P$ stowarzyszony z $A_2B_2$





strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 36 drukuj