Algebra, zadanie nr 5770
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
dziewczyna94 post贸w: 3 |  2018-06-16 20:40:38Prosz臋 o przet艂umaczenie lematu z angielskiego na polski. Let K be the field of fractions of R. If P(x)\in R[x] factors in K[x] then P(x) factors in R[x] with factors of the same degrees as the K[x] factors. In particular, if P(x)\in R[x] is irreducible then P(x) is also irreducible in K[x]. |
tumor post贸w: 8070 | 2018-06-17 08:12:43 Niech $K$ b臋dzie cia艂em u艂amk贸w pier艣cienia $R$. Je艣li $P(x) \in R[x]$ rozk艂ada si臋 w $K[x]$, w贸wczas $P(x)$ rozk艂ada si臋 w $R[x]$ na czynniki o tych samych stopniach co w przypadku $K[x]$. W szczeg贸lno艣ci, je艣li $P(x)\in R[x]$ jest nierozk艂adalny, w贸wczas $P(x)$ jest r贸wnie偶 nierozk艂adalny w $K[x]$. |
dziewczyna94 post贸w: 3 | 2018-06-17 13:46:10 Dzi臋kuje za pomoc. Wie Pan gdzie mog臋 znale藕膰 ten dow贸d bo zrobi艂am ale nie jestem pewna czy na pewno dobrze mam. |
tumor post贸w: 8070 | 2018-06-18 08:44:31 Nie wiem, pewnie jakie艣 podr臋czniki z podstaw algebry to maj膮, ale kt贸re dok艂adnie, tego nie powiem. Mo偶esz zawsze tu wrzuci膰 dow贸d, to si臋 sprawdzi. |
dziewczyna94 post贸w: 3 | 2018-06-18 14:50:11 Dow贸d Ka偶dy element z K[x] mo偶na zapisa膰 w postaci (A(x)/a) gdzie A(x)\in R[x] oraz a\in R. Za艂贸偶my, 偶e w K[x] ,mamy P(x)=(A(x)/a)(B(x)/b), gdzie a,b\in R oraz A(x),B(x)\in R[x]. W贸wczas abP(x)=A(x)B(x)\in R[x]. Rozwazmy nierozk艂adalno艣膰 p oraz ab. Nastepnie A(x)B(x)=0 w (R/p)[x]. Zatem p albo dzieli wszystkie wsp贸艂czynniki A(x) albo dzieli wszystkie wsp贸艂czynniki B(x). i na tym utkn臋lam |
tumor post贸w: 8070 | 2018-06-20 11:35:40 Skoro poka偶esz, 偶e wszystkie wsp贸艂czynniki $A$ lub wszystkie $B$ dziel膮 si臋 przez $p$, to mo偶na obie strony r贸wnania $abP(x)=A(x)B(x)$ skr贸ci膰 przez $p$. Lemat nie m贸wi, jaki pier艣cie艅 rozwa偶amy. Zapewne wcze艣niej w tre艣ci by艂o co艣 na ten temat (pier艣cie艅 z jednoznaczno艣ci膮 rozk艂adu?). Hungerford (\"Algebra\", strona 163) proponuje popatrze膰 na to tak: $C(P)$ niech oznacza NWD wsp贸艂czynnik贸w wielomianu $P$ (istnieje w pier艣cieniach z jednoznaczno艣ci膮 rozk艂adu) $P(x)\in R[x]$,stopie艅 $P$ dodatni, $A(x),B(x)\in K[x]$, stopnie $A,B$ dodatnie $P(x)=A(x)B(x)$ $A(x)=\sum \frac{\alpha_i}{a_i}x^i$ Niech $a=a_0a_1...a_{deg(A)}$ $A_1(x)=aA(x)\in R[x]$ $A_2$ niech powstanie z $A_1$ przez podzielenie wsp贸艂czynnik贸w przez $C(A_1)$, czyli $C(A_1)A_2=A_1=aA$, mamy $A_2\in R[x]$ oraz $C(A_2)=1$ analogicznie dostaniemy $C(B_1)B_2=B_1=bB$, mamy $B_2\in R[x]$ oraz $C(B_2)=1$ $abP=abAB=C(A_1)C(B_1)A_2B_2$ i oczywi艣cie stopnie $A,A_2$ r贸wne, $B,B_2$ r贸wne. Korzystaj膮c z faktu $C(A_2B_2)=C(A_2)C(B_2)$ (u Hungerforda lemat 6.11 strona 162) dostajemy $ab \approx abC(P) C(abP) \approx C(C(A_1)C(B_1)A_2B_2) \approx C(A_1)C(B_1)C(A_2B_2) \approx C(A_1)C(B_1)$ gdzie $\approx$ jest relacj膮 stowarzyszenia. Wobec tego $P$ stowarzyszony z $A_2B_2$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj