logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 5776

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

zbigniew86
postów: 9
2018-06-22 16:45:47

Hi, proszę o rozw. poniższej całki nieoznaczonej z funkcji niewymiernych:
$\int_{}^{}\frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$


Trochę zacząłem ale utknąłem:
podstawienie
$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}=t$

$\frac{1-x}{1+x}=t^{2}$

$1-x=t^{2}(1+x)$

$1-x=t^{2}+xt^{2}$

$-x-xt^{2}=t^{2}-1$ /stronami *(-1)

$x+xt^{2}=1-t^{2}$

$x(1+t^{2})=1-t^{2}$

$x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

podchodna wychodzi:
$dx=\frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}}dt$


Wracając do całki z podstawieniem:

$\int_{}^{}\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}*t*(\frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}})dt=-4\int_{}^{}\frac{t^{2}}{(1-t^{2})(1+t^2)}dt= -4\int_{}^{}\frac{t^{2}}{1-t^{4}}dt=$

i tutaj nie wiem jak się dalej zabrać do tej całki.

Natomiast odpowiedź w ks. wychodzi następująca:
$ln\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{|x|}+2arctg\sqrt{\frac{2+x}{2-x}}+C$

Odpowiedź z kalkulatora całek to już kosmos:
Link do wyniku






tumor
postów: 8085
2018-06-23 07:09:58

$\int \frac{t^2}{(1-t^2)(1+t^2)}dx$ to przecież całka wymierna, czyli rozkładamy na ułamki proste

$\frac{A}{1-t}+\frac{B}{1+t}+\frac{Cx+D}{1+t^2}$

przy tym da się tu zrobić to na oko

$\frac{\frac{1}{2}}{1-t^2}-\frac{\frac{1}{2}}{1+t^2}$

$\frac{\frac{1}{4}}{1+t}+\frac{\frac{1}{4}}{1-t}-\frac{\frac{1}{2}}{1+t^2}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 6 drukuj