logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 5778

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

agusiaczarna22
postów: 106
2018-06-25 03:11:55

Udowodnij, że iloczyn jest zbieżny
$\prod^ \infty_{n=2} \frac{n^3-1}{n^3+1} = \frac{2}{3}$


tumor
postów: 8085
2018-06-25 21:48:44

ze wzorów skróconego mnożenia rozpisujemy kilka początkowych wyrazów (to znaczy rozpisz jeszcze parę pomiędzy tymi, które ja piszę)

$\frac{(2-1)(2^2+2+1)}{(2+1)(2^2-2+1}\cdot
\frac{(3-1)(3^2+3+1)}{(3+1)(3^2-3+1)}\cdot ...\cdot
\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}=

\frac{(2-1)(2(2+1)+1)}{(2+1)(2(2-1)+1)}\cdot
\frac{(3-1)(3(3+1)+1)}{(3+1)(3(3-1)+1)}\cdot ...\cdot
\frac{(n-1)(n(n+1)+1)}{(n+1)(n(n-1)+1)}$

skraca się prawie wszystko, zostaje
$\frac{2}{2(2-1)+1}\cdot \frac{n(n+1)+1}{n(n+1)}$

a granica tego wyrażenia przy $n\to \infty$ jest dość oczywista


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 106 drukuj