logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Geometria, zadanie nr 5790

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

pawel1312
postów: 14
2018-08-25 17:01:03

Znaleźć masę kuli o promieniu 3,wykonanej z materiału o gęstości równej odległości punktu od płaszczyzny symetrii kuli.

Mam problem z tym zadaniem, ponieważ nie wiem, czy dobrze formułuje gęstość. Przyjmuje ją jako z, niestety potem wynik mi się zeruje. Co robię źle?


chiacynt
postów: 245
2018-08-25 18:15:56

Przedstaw swoją definicję gęstości, swoje obliczenia, żebyśmy mogli powiedzieć co robisz źle. Bo z pytania "co robię źle" nic nie wynika poza stwierdzeniem, że robisz źle lub nic nie robisz.

Wiadomość była modyfikowana 2018-08-25 19:13:17 przez chiacynt

chiacynt
postów: 245
2018-08-27 15:17:00

$ M = \iiint_{V} \rho dV.$

Pierwszy sposób

Uwzględniamy symetrię kuli i wprowadzamy współrzędne sferyczne:

$ M = 8\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{3}\rho r^2\sin(\theta)dr d\theta d\phi.$

$ \rho(x,y,z)= k|z|= k\cdot r\cos(\theta),$ dla określonego $ k\in R_{+}.$

$ M = 4k\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{3}r^3\sin(2\theta)d\theta d\phi.$

$ M = k\cdot 3^4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta)d\theta d\phi.$

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(2\theta) d\theta =1.$

$ M = 81k \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi = \frac{81k\pi}{2}.$

Drugi sposób

Przecinamy kulę o promieniu $ 3 $ dyskiem o grubości $ dx $ równolegle do płaszczyzny o równaniu $ x = 0, $ zakładając że jest to płaszczyzna odniesienia gęstości $ \rho, $ od której obliczamy odległość.

Wtedy

$\rho(x,y,z) = k|x| = kx, \ \ x\in R_{+}$

Jeśli przez $ d $ oznaczymy promień tego dysku, to

$ d = \sqrt{3^2- x^2 }$

i

$ M = \int_{0}^{3} k x \cdot \pi d^2 dx = \int_{0}^{3}k x (9-x^2)dx = \frac{81k\pi}{2}.$





Wiadomość była modyfikowana 2018-08-27 15:36:20 przez chiacynt
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 26 drukuj