logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5799

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

syl_wia
postów: 1
2018-09-12 23:09:24

Równanie różniczkowe.
Proszę o pomoc w tych dwóch zadaniach, ponieważ nie wiem jak dobrze rozwiązać te równania.

1. $y'+ycosx =-y^2*e^{sinx}*cos^4x$
2. $ y''+ 9y = ctg*3x $




chiacynt
postów: 249
2018-09-14 18:53:53

1.

$ y'+y\cos(x)= -y^2 e^{sin(x)}\cdot \cos^{4}(x).$

Metoda uzmienienia stałej.

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego:

$ y'+ y\cos(x)= 0.$

Po rozdzieleniu zmiennych i scałkowaniu obu stron równania:

$ \int \frac{dy}{y} = -\int cos(x)dx$

$ \ln|y| =-\sin(x) + A.$

$ y_{o} = \pm C e^{-\sin(x)}, \ \ C = e^{A}.$

Uzmienienie stałej $ C: $

$ y = C(x)e^{-\sin(x)}.$

$y'= C'(x)e^{-\sin(x)} - C(x)e^{-sin(x)}\cos(x).$

$ C'(x)e^{-\sin(x)}-C(x)e^{-\sin(x)}\cos(x)+C(x)e^{-\sin(x)}\cos(x)=-C^2(x)e^{-2\sin(x)}e^{\sin(x)}\cos^{4}(x).$

$ C'(x)e^{-\sin(x)} = -C^2(x)e^{-\sin(x)}\cos^{4}((x).$

$ C'(x) = -C^2(x)\cos^{4}(x).$

$ C'(x)\cdot C^{-2} = -\cos^{4}(x).$

$\int C^{-2}\cdot C'(x)dx = -\int\cos^4(x) dx.$

$ C^{-1}(x) = \int\cos^4(x)dx = \int( cos^2(x)(1-\sin^2(x))dx=...=\frac{1}{4}\sin(2x) +\frac{1}{32}\sin(4x) +\frac{3}{8} x + D,\ \ D =const. $

$ C(x) =\frac{1}{\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{1}{32}\sin(4x) +\frac{3}{8}x + D}. $

$y = \frac{e^{-\sin(x)}}{\frac{1}{4}\sin(2x) +\frac{1}{32}\sin(4x) +\frac{3}{8}x + D} = \frac{1}{e^{\sin(x)}[\frac{1}{4}\sin(2x)+\frac{1}{32}\sin(4x)+\frac{3}{8}x+D]}.$

2.

Proszę zastosować na przykład tą samą metodę rozwiązania.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 53 drukuj