logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5808

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ddoh
postów: 4
2018-10-20 18:14:16

Dana jest relacja: xRy $\iff$ $xe^{y}$ = $ye^{x}$
Wyznacz dla ustalonej liczby rzeczywistej x liczbę elementów w jej klasie abstrakcji

Wyznaczyć klasy abstrakcji relacji: ARB $\iff$ A $\subset$ B

Na zbiorze E = NxN definiujemy relację R następująco:
(a;b)R(a';b' ) $\iff$ ab' = a'b
Wyznacz zbiór E/R.


tumor
postów: 8085
2018-10-20 21:29:23

1. Wypada sprawdzić, czy to relacja równoważności.

Dość łatwo zauważyć, że liczba ujemna nie może być w relacji z dodatnią, 0 jest jedynie w relacji ze sobą.

Podstawmy $y=kx,$ gdzie k jest dodatnie
$kxe^x=xe^{kx}$
$ke^x=(e^x)^k$
No i wypada przemyśleć, czy równanie
$kC=C^k $gdzie C jest pewną dodatnią stałą, ma rozwiązania poza k=1

2. Sprawdzimy, czy to relacja równoważności.

3. Najpierw oczywiście sprawdzenie, czy to relacja równoważności.

Jeśli (a,b) jest elementem E takim, że $NWD(a,b)=1$, to
$(a,b)R(a'b')\iff \exists_{k\in N} (a'=ka \wedge b'=kb) $
Oczywiście trzeba ten fakt uzasadnić.


ddoh
postów: 4
2018-10-21 10:23:15

1. Wydaje mi się że nie, więc liczba elementów w klasie abstrakcji wynosi 1?
2. Pytam o klasy abstrakcji, więc wiem że jest to relacja równoważności :d
3.E/R = {ka, kb : k $\in$ N} ?


tumor
postów: 8085
2018-10-21 10:45:43

1. Wynosi 1, ale "wydaje mi się" jest kiepskim argumentem.

2. Pokażesz mi dowód?

3. Podpowiem, że zadanie to mówi o konstrukcji ułamków. Ułamek to para (a,b), choć zapisujemy $\frac{a}{b}$
no i dwa ułamki są równe, tzn $\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$ gdy
$ab'=a'b$

Zapis $ \{(ka,kb):k \in N\}$ nie oznacza zbioru klas abstrakcji, to opis jednej klasy abstrakcji (dodajmy, że nieścisły, bo omijasz informację, że a,b są względnie pierwsze, tzn ułamek jest nieskracalny)

Wiadomość była modyfikowana 2018-10-21 10:46:17 przez tumor

ddoh
postów: 4
2018-10-21 11:13:11

1. Jak to udowodnić że tylko i wyłącznie 1?
2. Za to przepraszam - dałem zły przykład. Ta relacja nie jest relacją równoważności bo nie jest symetryczna.
3.[a,b] = {a,b $\in$N : a,b są liczbami względnie pierwszymi}
E/R = {[a,b],[a+1,b+1],...,[ak,bk] : k$\in$N}
Jeśli dalej napisałem źle to po prostu zostaw po sobie całe zrobione zadanie, bo analiza tego przykładu mi wystarczy do zrobienia dalszych zadań. Bo tego właśnie mi brakuje - przykładów które mogę przeanalizować, bo na wykładach dostaje tylko suche definicje.


tumor
postów: 8085
2018-10-21 11:59:50

1. Wygodnie się dowodzi rachunkiem różniczkowym :)

3. Nie mylisz czasem dodawania z mnożeniem?

Gdy dzieci poznają ułamki, to uczą się, że $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=\frac{9}{15}=...$, jeden ułamek nieskracalny odpowiada innym skracalnym.

A zbiór ułamków o naturalnych licznikach i mianownikach to powinniśmy znać.

Zbiór $Q^+$ jest właśnie zbiorem klas abstrakcji E/R, każda klasa abstrakcji to jeden ułamek, przy tym najłatwiej te klasy zapisywać przez reprezentanta nieskracalnego.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 104 drukuj