logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5809

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2018-10-20 18:42:26

1. Określić działanie $*$ na zbiorze $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ takie, że $(A, *)$ jest grupą nieprzemienną. Odpowiedź uzasadnić.
2. Określić działanie $*$ na zbiorze $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ takie, że $(A, *)$ jest grupą nieprzemienną z elementem neutralnym 1.


tumor
postów: 8085
2018-10-21 09:52:06

Mnie osobiście najłatwiej się konstruuje grupę nieprzemienną na permutacjach. Potrzebujesz zatem grupy
1. ośmiu permutacji
2. sześciu permutacji
elementów jakiegoś zbioru, oczywiście nieprzemiennej.

2. Dla przykładu wszystkie permutacje zbioru trójelementowego
(123)
(132)
(213)
(231)
(312)
(321)
tworzą grupę nieprzemienną.
Utożsamiamy te permutacje z liczbami 1,2,3,...,6, przy tym (123) musi odpowiadać 1, bo to element neutralny.

Zauważmy zresztą, że powyższe odpowiada obrotom i symetriom trójkąta równobocznego.

1. Podobnie, symetrie i obroty kwadratu to razem 8 elementów, a przemienne nie są.


geometria
postów: 854
2018-11-01 09:49:22

1.
$|D_{4}|=8$
$A\cong D_{4}$, $f:(A, *)\rightarrow (D_{4}, \circ)$.
Dzialanie $*$ jest indukowane przez dzialanie $\circ$ poprzez $f$.
$D_{4}$ to grupa nieprzemienna, indukujac dzialanie $*$ przez dzialanie $\circ$ tez otrzymamy grupe nieprzemienna.
Dzialanie $*$: $a*b=f^{-1}(f(a)\circ f(b))$.
Czy trzeba podawac wartosci funkcji $f$?

2. Analogicznie.




tumor
postów: 8085
2018-11-01 11:50:21

Gdy mamy już grupy z działaniami określonymi, a mamy pokazać izomorfizm, to nie wystarcza zgodność liczby elementów. Potrzeba pokazać parę warunków (np. homomorfizm+bijekcję albo korzystać z tw. o izomorfizmie).

W tym zadaniu nie ma określonego działania. Innymi słowy nie ma tu żadnej struktury, a cyfry 1,2,...,8 są pozbawione znaczenia. To osiem różnych obrazków. Wystarcza nam zgodność ilości elementów.

Jest przez to zupełnie obojętne, który obrazek przypiszesz któremu przekształceniu kwadratu (oczywiście bijektywnie), no ale któryś przypisać musisz, bo tego wymaga polecenie.

Póki co ja nie wiem, ile to jest $f^{-1}(O_{180^\circ})$. Ty wiesz? Bo jeśli nie wiesz, to chyba czegoś brakuje. :)


geometria
postów: 854
2018-11-01 13:14:08

1. Np.
$f(1)=id$
$f(2)=O_{90^{\circ}}$
$f(3)=O_{180^{\circ}}$
$f(4)=O_{270^{\circ}}$
$f(5)=S_{1}$
$f(6)=S_{2}$
$f(7)=S_{3}$
$f(8)=S_{4}$

2.
$f: (A, *)\rightarrow (S_{3}, \circ)$
$a*b=f^{-1}(f(a)\circ f(b))$
Np.
$f(1)=id$
$f(2)=O_{120^{\circ}}$
$f(3)=O_{240^{\circ}}$
$f(4)=S_{1}$
$f(5)=S_{2}$
$f(6)=S_{3}$



geometria
postów: 854
2018-11-09 09:35:16

Tam powinno byc 2. $f:(A, *)\rightarrow (D_{3}, \circ)$.


geometria
postów: 854
2018-11-09 09:42:36

3. Okreslic dzialanie $*$ na zbiorze $A=\{0,1,2,3,4,5\}$ takie, ze $(A, *)$ jest grupa nieprzemienna.

Czyli analogicznie jak w 2.
$f:(A, *)\rightarrow (D_{3}, \circ$)
$a*b=f^{-1}(f(a)\circ f(b))$
Np.:
$f(0)=id$
$f(1)=O_{120^{\circ}}$
$f(2)=O_{240^{\circ}}$
$f(3)=S_{1}$
$f(4)=S_{2}$
$f(5)=S_{3}$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 117 drukuj