logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 5817

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ollaxd52
postów: 6
2018-10-24 23:21:04

Wykaż, że podciąg ciągu Cauchy'ego jest ciągiem Cauchy'ego.
Wskaż przykład ciągu, który nie jest ciągiem Cauchy'ego a zawiera podciąg Cauchy'ego.


tumor
postów: 8085
2018-10-25 08:13:55

Jeśli $a_k$ jest ciągiem Cauchy'ego, to
$\forall_{\epsilon>0}\exists_{N\in \mathbb{N}}\forall_{m,n>N}|a_m-a_n|<\epsilon$

Weźmy podciąg $b_k$ ciągu $a_k$, to znaczy
$b_k=a_{f(k)}$ gdzie $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ jest funkcją rosnącą.

f rosnąca, zatem
$\forall_{\epsilon>0}\exists_{N\in \mathbb{N}}\forall_{m,n>N}|a_{f(m)}-a_{f(n)}|<\epsilon$
a to znaczy
$\forall_{\epsilon>0}\exists_{N\in \mathbb{N}}\forall_{m,n>N}|b_{m}-b_{n}|<\epsilon$


---

Każdy ciąg zbieżny w R jest c. Cauchy'ego. Jeśli "zmieszasz" dwa ciągi zbieżne do różnych granic [albo zbieżny z rozbieżnym](tak że wyjściowe ciągi są podciągami "zmieszanego"), dostaniesz ciąg rozbieżny (więc siłą rzeczy nie Cauchy'ego), który ma podciąg zbieżny (więc Cauchy'ego).
dla przykładu $(-1)^n$
albo minimalnie ciekawszy
$\frac{n^4}{n^3-2n}+(-1)^nn$

Każdy ciąg ograniczony w R zawiera podciąg zbieżny (a więc i podciąg Cauchy'ego). Jeśli weźmiesz ciąg ograniczony rozbieżny, to nie jest on Cauchy'ego, ale musi mieć podciąg Cauchy'ego.
dla przykładu $2sin(n)-cos^2(n^2)$


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 66 drukuj