Topologia, zadanie nr 5817
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / RozwiÄ…zanie |
ollaxd52 postów: 6 |  2018-10-24 23:21:04Wykaż, że podciąg ciągu Cauchy\'ego jest ciągiem Cauchy\'ego. Wskaż przykład ciągu, który nie jest ciągiem Cauchy\'ego a zawiera podciąg Cauchy\'ego. |
tumor postów: 8070 | 2018-10-25 08:13:55 Jeśli $a_k$ jest ciągiem Cauchy\'ego, to $\forall_{\epsilon>0}\exists_{N\in \mathbb{N}}\forall_{m,n>N}|a_m-a_n|<\epsilon$ Weźmy podciąg $b_k$ ciągu $a_k$, to znaczy $b_k=a_{f(k)}$ gdzie $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ jest funkcją rosnącą. f rosnąca, zatem $\forall_{\epsilon>0}\exists_{N\in \mathbb{N}}\forall_{m,n>N}|a_{f(m)}-a_{f(n)}|<\epsilon$ a to znaczy $\forall_{\epsilon>0}\exists_{N\in \mathbb{N}}\forall_{m,n>N}|b_{m}-b_{n}|<\epsilon$ --- Każdy ciąg zbieżny w R jest c. Cauchy\'ego. Jeśli \"zmieszasz\" dwa ciągi zbieżne do różnych granic [albo zbieżny z rozbieżnym](tak że wyjściowe ciągi są podciągami \"zmieszanego\"), dostaniesz ciąg rozbieżny (więc siłą rzeczy nie Cauchy\'ego), który ma podciąg zbieżny (więc Cauchy\'ego). dla przykładu $(-1)^n$ albo minimalnie ciekawszy $\frac{n^4}{n^3-2n}+(-1)^nn$ Każdy ciąg ograniczony w R zawiera podciąg zbieżny (a więc i podciąg Cauchy\'ego). Jeśli weźmiesz ciąg ograniczony rozbieżny, to nie jest on Cauchy\'ego, ale musi mieć podciąg Cauchy\'ego. dla przykładu $2sin(n)-cos^2(n^2)$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj