logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5818

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2018-10-25 10:34:05

Wskazać z uzasadnieniem podgrupę $D_{3}$ izomorficzną z ($Z_{3}$, $+_{3}$).

$D_{3}=\{id=O_{0^{\circ}}, O_{120^{\circ}}, O_{240^{\circ}}, S_{1}, S_{2}, S_{3}\}$; $|D_{3}|=6$
$Z_{3}=\{0, 1, 2\}$; $|Z_{3}|=3$
Niech $H\lt D_{3}$.
Aby $H$ byla izomorficzna z $Z_{3}$ to musi miec 3 elementy, czyli $|H|=3$.
Jednym z tych elementów bedzie $id=O_{0^{\circ}}$; $H=\{id=O_{0^{\circ}}, ..., ...\}$
Niech $f$ szukany izomorfizm.
$f:H\rightarrow Z_{3}$
$f(O_{0^{\circ}})=0$ (element neutralny przechodzi na neutralny)

Jakie beda pozostale dwa elementy w $H$? W jaki sposob je wyznaczyc?


tumor
postów: 8085
2018-10-25 11:14:55

No, masz słuszność co do wniosków, że muszą być 3 elementy, w tym element neutralny id.

Można szybko przemyśleć, jakież to podgrupy ma $D_3$. Łatwo zauważyć, że jeśli w podgrupie jest jakiś niezerowy obrót, to są w niej wszystkie obroty, wobec tego podgrupa zawierająca choć jeden obrót i choć jedną symetrię musi mieć już 4 elementy (a tak naprawdę 6, choć to już niewiele zmienia).
Jeśli podgrupa zawiera dwie różne symetrie, to zawiera też ich złożenie, czyli obrót (więc ma co najmniej 5 elementów, a w istocie też 6).

Innymi słowy wykluczone jest, żeby trójelementowa podgrupa $D_3$ miała jakieś dwie symetrie albo symetrię i niezerowy obrót. Jedyne wyjście to podgrupa samych obrotów.

Do tej pory pomyśleliśmy tylko kandydaturę. Zatem $H=\{O_0, O_{120^\circ}, O_{240^\circ}\}$ jest kandydatem na izomorfizm z $Z_3$.
Należy sprawdzić ten izomorfizm.

a) można na piechotę. Na przykład
$0 \mapsto O_0, $
$1 \mapsto O_{120^\circ},$
$2 \mapsto O_{240^\circ}$
należy sprawdzić, że zachowane są działania.
No i trzeba sprawdzić
$(1+1) \mapsto O_{120^\circ}\circ O_{120^\circ}$
$(1+2) \mapsto ...$

(nie trzeba sprawdzać elementu neutralnego)

a2) powyższy rachunek można nieco skrócić, zapisując jawnie wzór kandydata na izomorfizm
$f(a)=O_{a*120^\circ}$

wtedy
$f(a+b)=O_{(a+b)*120^\circ}=O_{b*120^\circ}O_{a*120^\circ}$
(składa się od prawej, nie?)

b) korzystając z jakiegoś twierdzenia.
Akurat bardzo łatwo udowodnić, że dwie grupy cykliczne mające tyle samo elementów są izomorficzne. Znając ten dowód wystarczy zauważyć, że $Z_3$ i $H$ są obie cykliczne.


geometria
postów: 854
2018-10-25 14:37:08

a) $f:Z_{3}\rightarrow H$
Czy we wzorze na $f$ nie powinno byc dodawania modulo 3?
$f(a+_{3} b)=O_{(a+_{3}b)\cdot 120^{\circ}}$

Czy mozna tez zapisac tak:
$f':H\rightarrow Z_{3}$
$f(O_{a\cdot 120^{\circ}})=a$, $a\in Z_{3}$ ?

b)$Z_{3}$ jest cykliczna, $H$ jest cykliczna, bo ma generator $h=O_{120^{\circ}}$, $H=\lt h \gt$.
$h^{1}=O_{120^{\circ}}$
$h^{2}=O_{120^{\circ}}\circ O_{120^{\circ}}=O_{240^{\circ}}$
$h^{3}=O_{120^{\circ}}\circ O_{120^{\circ}}\circ O_{120^{\circ}}=O_{360^{\circ}}=O_{0}=id$
Czyli $H$ ma rzad 3.

Z twierdzenia:
Kazde dwie grupy cykliczne o takiej samej liczbie elementow sa izomorficzne
otrzymujemy, ze $H\cong Z_{3}$.

Wiadomość była modyfikowana 2018-10-25 16:36:26 przez geometria

tumor
postów: 8085
2018-10-25 20:17:55

Jest przecież dodawanie modulo 3. :) Jedynie nie ma małego podpisu pod plusikiem, ale to bez znaczenia.

Ogólnie zapis np. f(a+b)=f(a)+f(b) gdy f jest homomorfizmem z G w H oznacza, że lewy plus jest działaniem w G, a prawy plus działaniem w H. Nie ma obowiązku stosować dla nich innych symboli, można to zrobić dla wygody/czytelności/dzieci/duchów przodków, ale to tylko ozdoba. Matematycznie jest jasne, że zawsze chodzi o działanie z odpowiedniej grupy. ;)

a) oczywiście funkcja odwrotna do izomorfizmu jest izomorfizmem i można ją zapisać tak jak podajesz.



geometria
postów: 854
2018-10-27 11:48:11

Dla przykladu sprawdze czy sa to homomorfizmy. Bede pisac $+_{3}$, bo jest dla mnie czytelniejsze. Mielismy zdefiniowane $+_{n}$ jako $a+_{n}b=r_{n}(a+b)$.
a) np.
L$=f(1+_{3}2)=f(r_{3}(1+2))=f(r_{3}(3))=f(0)=O_{0}$
P$=f(1)\circ f(2)=f(2)(f(1))=O_{240^{\circ}}O_{120^{\circ}}=O_{360^{\circ}}=O_{0}$
Czyli L$=$P. Analogicznie bedzie dla pozostalych. Zatem jest to homomorfizm.

a2) $f:Z_{3}\rightarrow H$
$f(a)=O_{a\cdot 120^{\circ}}$, $a\in Z_{3}$
Jak $f$ homomorfizm to dla kazdego $a, b\in Z_{3}$ $f(a+_{3}b)=f(a)\circ f(b)$.

L$=f(a+_{3}b)=O_{(a+_{3}b)\cdot 120^{\circ}}=?$ nie wiem jak to dalej przeksztalcic
P$=f(a)\circ f(b)=f(b)(f(a))=O_{b\cdot 120^{\circ}}O_{a\cdot 120^{\circ}}=?$ tutaj tez nie wiem

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 10 drukuj