Algebra, zadanie nr 5819
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
forlify post贸w: 3 |  2018-10-26 10:07:31Zadanie z cia艂 gdzie doszed艂em do formy kt贸ra jest poni偶ej i musze udowodni膰 1 lub 2 warunek, je艣li to zrobie bede mial pewno艣膰 czy zbi贸r podany w zadaniu jest cia艂em. $a^{3}+5b^{3}+15ab-25=0$ Mam udowodni膰, 偶e 1-Je艣li a jest wymierne to b nie mo偶e by膰 wymierne lub 2-Je艣li a jest wymierne to b te偶 jest wymierne Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2018-10-28 00:00:52 przez forlify |
tumor post贸w: 8070 | 2018-10-26 12:25:56 Druga w艂asno艣膰 jest w spos贸b oczywisty fa艂szywa, spr贸bujemy dowodzi膰 pierwszej. Zapiszmy $a=\frac{p}{q}$, $b=\frac{m}{n}$ i niech to b臋d膮 u艂amki nieskracalne. $\frac{p^3}{q^3}+\frac{5m^3}{n^3}+\frac{3*5pm}{qn}-25=0 $ Pomn贸偶my stronami przez $q^3n^3$ $p^3n^3+5m^3q^3+3*5pmn^2q^2-25q^3n^3=0$ Chcemy pokaza膰, 偶e to r贸wnanie nie ma rozwi膮za艅 w liczbach ca艂kowitych. Widzimy, 偶e trzy sk艂adniki z prawej dziel膮 si臋 przez 5, zatem pierwszy te偶 musi, czyli 5|p lub 5|n a) je艣li 5|p, to drugi sk艂adnik dzieli si臋 przez 25, czyli 5|m W贸wczas czwarty sk艂adnik dzieli si臋 przez 125, sprzeczno艣膰. b) je艣li 5|n, to podobnie drugi sk艂adnik dzieli si臋 przez 25, czyli 5|q, czyli pierwszy sk艂adnik dzieli si臋 przez 625, czyli 25|n, Je艣li $5^k|n$ i $5^{k-1}|q$, gdzie k>1, to drugi sk艂adnik dzieli si臋 przez $5^{3k}$, czyli $5^k|q$. Je艣li $5^k|n$, $5^k|q$ a $5^{k+1}\not{|}n$, to trzy ko艅cowe sk艂adniki dziel膮 si臋 przez $5^{3k+1}$, w贸wczas 5|p, sprzeczno艣膰. ---- A mo偶esz mi da膰 polecenie do tego zadania takie, jak by艂o na pocz膮tku? |
forlify post贸w: 3 | 2018-10-26 20:50:33 Czy nast臋puj膮cy zbior jest cia艂em ze wzgl臋du na dodawanie i mno偶enie: ${a + b\sqrt[3]{5} : a, b \in Q};$ |
forlify post贸w: 3 | 2018-10-26 21:07:41 \"Widzimy, 偶e trzy sk艂adniki z prawej dziel膮 si臋 przez 5, zatem pierwszy te偶 musi, czyli 5|p lub 5|n\" - czemu pierwszy tez musi? Czemu \"je艣li 5|p, to drugi sk艂adnik dzieli si臋 przez 25, czyli 5|m\"? By艂bym wdzi臋czny za g艂臋bsze wyt艂umaczenie, ale dzi臋kuje i tak za rozwi膮zanie! |
tumor post贸w: 8070 | 2018-10-27 23:48:08 Dow贸d bazuje na wielokrotnym u偶yciu dw贸ch prostych twierdze艅: a) je艣li liczba pierwsza dzieli iloczyn, to dzieli co najmniej jeden z czynnik贸w b) je艣li liczba pierwsza jest dzielnikiem wszystkich sk艂adnik贸w sumy poza jednym i jest dzielnikiem sumy, to jest te偶 dzielnikiem pozosta艂ego sk艂adnika sumy Niczego wi臋cej nie stosowa艂em, tylko raz za razem te dwie rzeczy. --- W przypadku o kt贸ry pytasz: skoro 5|p, to pierwszy sk艂adnik, skoro ma $p^3$, dzieli si臋 przez 125, trzeci sk艂adnik ma 5p, dzieli si臋 przez 25, czwarty ma 25, czyli dzieli si臋 przez 25. Wobec tego drugi sk艂adnik dzieli si臋 przez 25, to twierdzenie b). Skoro jednak p,q nie maj膮 wsp贸lnego dzielnika (za艂o偶enie o nieskracalno艣ci u艂amka), to znaczy, 偶e to $5m^3$ dzieli si臋 przez 25, wi臋c m dzieli si臋 przez 5, to wynika z twierdzenia a). |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj