logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5819

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mastermind
postów: 3
2018-10-26 10:07:31

Zadanie z ciał gdzie doszedłem do formy która jest poniżej i musze udowodnić 1 lub 2 warunek, jeśli to zrobie bede mial pewność czy zbiór podany w zadaniu jest ciałem.

$a^{3}+5b^{3}+15ab-25=0$

Mam udowodnić, że
1-Jeśli a jest wymierne to b nie może być wymierne
lub
2-Jeśli a jest wymierne to b też jest wymierne



Wiadomość była modyfikowana 2018-10-28 00:00:52 przez mastermind

tumor
postów: 8085
2018-10-26 12:25:56

Druga własność jest w sposób oczywisty fałszywa, spróbujemy dowodzić pierwszej.

Zapiszmy $a=\frac{p}{q}$, $b=\frac{m}{n}$ i niech to będą ułamki nieskracalne.

$\frac{p^3}{q^3}+\frac{5m^3}{n^3}+\frac{3*5pm}{qn}-25=0 $

Pomnóżmy stronami przez $q^3n^3$

$p^3n^3+5m^3q^3+3*5pmn^2q^2-25q^3n^3=0$

Chcemy pokazać, że to równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

Widzimy, że trzy składniki z prawej dzielą się przez 5, zatem pierwszy też musi, czyli 5|p lub 5|n

a) jeśli 5|p, to drugi składnik dzieli się przez 25, czyli 5|m
Wówczas czwarty składnik dzieli się przez 125, sprzeczność.

b) jeśli 5|n, to podobnie drugi składnik dzieli się przez 25, czyli 5|q, czyli pierwszy składnik dzieli się przez 625,
czyli 25|n,
Jeśli $5^k|n$ i $5^{k-1}|q$, gdzie k>1, to drugi składnik dzieli się przez $5^{3k}$, czyli $5^k|q$.

Jeśli $5^k|n$, $5^k|q$ a $5^{k+1}\not{|}n$, to trzy końcowe składniki dzielą się przez $5^{3k+1}$, wówczas 5|p, sprzeczność.


----

A możesz mi dać polecenie do tego zadania takie, jak było na początku?


mastermind
postów: 3
2018-10-26 20:50:33

Czy następujący zbior jest ciałem ze względu na dodawanie i mnożenie:
${a + b\sqrt[3]{5} : a, b \in Q};$



mastermind
postów: 3
2018-10-26 21:07:41

"Widzimy, że trzy składniki z prawej dzielą się przez 5, zatem pierwszy też musi, czyli 5|p lub 5|n" - czemu pierwszy tez musi?

Czemu "jeśli 5|p, to drugi składnik dzieli się przez 25, czyli 5|m"?

Byłbym wdzięczny za głębsze wytłumaczenie, ale dziękuje i tak za rozwiązanie!


tumor
postów: 8085
2018-10-27 23:48:08

Dowód bazuje na wielokrotnym użyciu dwóch prostych twierdzeń:
a) jeśli liczba pierwsza dzieli iloczyn, to dzieli co najmniej jeden z czynników
b) jeśli liczba pierwsza jest dzielnikiem wszystkich składników sumy poza jednym i jest dzielnikiem sumy, to jest też dzielnikiem pozostałego składnika sumy

Niczego więcej nie stosowałem, tylko raz za razem te dwie rzeczy.

---

W przypadku o który pytasz:
skoro 5|p, to pierwszy składnik, skoro ma $p^3$, dzieli się przez 125, trzeci składnik ma 5p, dzieli się przez 25, czwarty ma 25, czyli dzieli się przez 25. Wobec tego drugi składnik dzieli się przez 25, to twierdzenie b).
Skoro jednak p,q nie mają wspólnego dzielnika (założenie o nieskracalności ułamka), to znaczy, że to $5m^3$ dzieli się przez 25, więc m dzieli się przez 5, to wynika z twierdzenia a).


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 23 drukuj