logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5821

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2018-10-27 13:13:34

Ile jest homomorfizmow i izomorfizmow grupy $Z_{6}$ w grupe $S_{3}$?

$Z_{6}=\{0,1,2,3,4,5\}$, $|Z_{6}|=6$
$S_{3}=\{id=\begin{bmatrix} 1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3\\1&3&2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3\\2&1&3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3\\2&3&1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3\\3&1&2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3\\3&2&1\end{bmatrix}\}$, $|S_{3}|=6$
Na pewno jest jeden izomorfizm.
$f:Z_{6}\rightarrow S_{3}$
$f(0)=id$
$f(1)=$
$f(2)=$
$f(3)=$
$f(4)=$
$f(5)=$
Czy ma znaczenie na co przejdzie 1, 2 itd. ?


tumor
postów: 8085
2018-10-28 00:00:13

OCZYWIŚCIE, że ma znaczenie na co przejdą konkretne elementy. Grupa ma pewną strukturę. Gdyby to było obojętne, czy 2+2=4 czy 2+2=1 w grupie $Z_6$, to wtedy struktura nie miałaby znaczenia.

Możesz mi pokazać ten jeden izomorfizm, który jest na pewno?


geometria
postów: 854
2018-10-31 13:30:51

Nie ma. Izomorfizm nie istnieje, bo $Z_{6}$ jest cykliczna a $S_{3}$ nie jest cykliczna.

Tylko nie wiem czy takie uzasadnienie wystarczy?
Chyba, ze mozna podac jakis kontrprzykład.



tumor
postów: 8085
2018-10-31 14:04:08

Uzasadnienie, że nie ma izomorfizmu, jest zupełnie wystarczające.

Homomorficzny obraz grupy cyklicznej jest grupą cykliczną, czyli każda funkcja z $Z_6$ w $S_3$ albo nie jest homomorfizmem (jeśli obrazem jest $S_3$), albo nie jest bijekcją (jeśli obrazem jest coś innego). Tak czy inaczej izomorfizmem być nie może.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 28 drukuj