Algebra, zadanie nr 5823

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
geometria postów: 865	2018-10-27 20:08:33 Wskazać z uzasadnieniem podgrupę $S_{4}$ izomorficzną z $(Z_{4}, +_{4})$. Niech $H\lt S_{4}$. $\|Z_{4}\|=4$, zatem $H$ tez musi miec 4 elementy. Generatorem $H$ jest $h=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix}$. Zatem grupa $H$ jest cykliczna. $Z_{4}$ tez. $H=\lt \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix} \gt=\{id=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix}\}$ Na podstawie twierdzenia $H\cong Z_{4}$. -------------- A z izomorfizmem: $f:H\rightarrow Z_{4}$ $f(id)=0$ $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=$ $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix})=$ $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix})=$ Czy ma znaczenie na co przejda elementy $H$?

tumor postów: 8070	2018-10-27 23:52:56 Ma znaczenie. Najprościej: generator przechodzi na generator. (A jeśli zauważysz, że grupa cykliczna może mieć więcej niż jeden generator, to jeszcze dojdziesz do wniosku, że istnieje więcej niż jeden izomorfizm. Słusznie!)

geometria postów: 865	2018-11-01 12:08:57 Generatorami $Z_{n}$ sa elementy wzglednie pierwsze z $n$, czyli $NWD(a, n)=1$. Zatem generatorami $Z_{4}$ sa 1 i 3; $ord(1)=ord(3)=4$. Generatorami $H$ sa $h_{1}=\lt\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix}\gt$ i $h_{2}=\lt\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix}\gt$; $ord(h_{1})=ord(h_{2})=4$. $ord(2)=2$, $ord(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix})=2$. --------------------------------------- Jak $f: G\rightarrow H$ izomorfizm, to $ord_{G}(g)=ord_{H}(f(g))$. O to mi chodzilo w zadaniu nr 5824. --------------------------------------- Skoro generator przechodzi na generator to $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=1$ w jednym izomorfizmie oraz $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix})=3$ w drugim izomorfizmie. Pozostale przejda na to samo w obu izomorfizmach.

tumor postów: 8070	2018-11-01 12:19:31 Pozostałe będą uzależnione od generatora. $f(a^n)=(f(a))^n$ albo w zapisie addytywnym $f(na)=nf(a)$

geometria postów: 865	2018-11-01 13:26:05 Chyba, zle napisalem wczesniej. Raczej powinno byc tak: Generator przechodzi na generator to $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=1$ w jednym izomorfizmie oraz $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=3$ w drugim izomorfizmie.

geometria postów: 865	2018-11-09 09:30:15 Czyli mamy 2 izomorfizmy: 1) $f:H\rightarrow Z_{4}$ $f(id)=0$ $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=1$ $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix})=2$ $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix})=3$ 2) $g:H\rightarrow Z_{4}$ $g(id)=0$ $g(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix})=1$ $g(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix})=2$ $g(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=3$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj