logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5823

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2018-10-27 20:08:33

Wskazać z uzasadnieniem podgrupę $S_{4}$ izomorficzną z $(Z_{4}, +_{4})$.

Niech $H\lt S_{4}$.
$|Z_{4}|=4$, zatem $H$ tez musi miec 4 elementy.
Generatorem $H$ jest $h=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix}$. Zatem grupa $H$ jest cykliczna. $Z_{4}$ tez.
$H=\lt \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix} \gt=\{id=\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\1&2&3&4\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix}\}$

Na podstawie twierdzenia $H\cong Z_{4}$.
--------------
A z izomorfizmem:
$f:H\rightarrow Z_{4}$
$f(id)=0$
$f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=$
$f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix})=$
$f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix})=$
Czy ma znaczenie na co przejda elementy $H$?


tumor
postów: 8085
2018-10-27 23:52:56

Ma znaczenie. Najprościej: generator przechodzi na generator.

(A jeśli zauważysz, że grupa cykliczna może mieć więcej niż jeden generator, to jeszcze dojdziesz do wniosku, że istnieje więcej niż jeden izomorfizm. Słusznie!)


geometria
postów: 854
2018-11-01 12:08:57

Generatorami $Z_{n}$ sa elementy wzglednie pierwsze z $n$, czyli $NWD(a, n)=1$.

Zatem generatorami $Z_{4}$ sa 1 i 3; $ord(1)=ord(3)=4$.
Generatorami $H$ sa $h_{1}=\lt\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix}\gt$ i $h_{2}=\lt\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix}\gt$; $ord(h_{1})=ord(h_{2})=4$.
$ord(2)=2$, $ord(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix})=2$.
---------------------------------------
Jak $f: G\rightarrow H$ izomorfizm, to $ord_{G}(g)=ord_{H}(f(g))$.

O to mi chodzilo w zadaniu nr 5824.
---------------------------------------
Skoro generator przechodzi na generator to $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=1$ w jednym izomorfizmie oraz $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix})=3$ w drugim izomorfizmie. Pozostale przejda na to samo w obu izomorfizmach.



tumor
postów: 8085
2018-11-01 12:19:31

Pozostałe będą uzależnione od generatora.

$f(a^n)=(f(a))^n$

albo w zapisie addytywnym
$f(na)=nf(a)$


geometria
postów: 854
2018-11-01 13:26:05

Chyba, zle napisalem wczesniej.
Raczej powinno byc tak:
Generator przechodzi na generator to $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=1$ w jednym izomorfizmie oraz $f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=3$ w drugim izomorfizmie.


geometria
postów: 854
2018-11-09 09:30:15

Czyli mamy 2 izomorfizmy:
1) $f:H\rightarrow Z_{4}$

$f(id)=0$
$f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=1$
$f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix})=2$
$f(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix})=3$

2) $g:H\rightarrow Z_{4}$

$g(id)=0$
$g(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\4&1&2&3\end{bmatrix})=1$
$g(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\3&4&1&2\end{bmatrix})=2$
$g(\begin{bmatrix} 1&2&3&4\\2&3&4&1\end{bmatrix})=3$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj