logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 5829

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

iwka
postów: 128
2018-10-31 12:26:18

Rozwiąż równanie arc cos (-x)+arc cos x=$\pi$


tumor
postów: 8085
2018-10-31 12:55:26

wypada zauważyć, że związek $\arccos(-x)=\pi-\arccos(x)$ ma miejsce dla każdego x z dziedziny funkcji. Łatwo go udowodnić składając obie strony równania z funkcją $\cos()$


iwka
postów: 128
2018-10-31 13:02:46

jak złożyć obie strony równania z funkcją cos?


tumor
postów: 8085
2018-10-31 13:57:36

$ cos(arccos(-x))=cos(\pi-arccos(x))$

Przy tym $cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$



----

Można też zauważyć nieparzystość funkcji $arccos(x)-\frac{\pi}{2}$
wynikającą z nieparzystości funkcji $cos(x+\frac{\pi}{2})$

Wiadomość była modyfikowana 2018-10-31 14:00:21 przez tumor

iwka
postów: 128
2018-11-01 18:01:43

a skąd wiadomo, że można to sobie złożyć funkcją cos?


tumor
postów: 8085
2018-11-01 19:19:03

ze szkoły?

------

Wróćmy dwa szczeble edukacji niżej (ósma klasa podstawówki lub środek odchodzącego gimnazjum). Uczy się tam, że równanie składa się ze strony lewej i strony prawej, pomiędzy którymi wstawia się znak równości.

L=P

Jeśli wykonasz te same operacje po stronie lewej, co po stronie prawej, to równość będzie zachowana. Istotnym faktem jest jednak, że operacja ta może być różnowartościowa lub może różnowartościowa nie być.
Jeśli złożymy strony z funkcją różnowartościową, mamy pewność, że nie zwiększyła nam się ilość rozwiązań, to znaczy, że powstałe w ten sposób równanie ma ten sam zbiór rozwiązań co wyjściowe.
Stosując funkcję nieróżnowartościową możemy zwiększyć zbiór rozwiązań (to znaczy powstałe równanie może mieć rozwiązania, których nie miało wyjściowe).

Funkcja $cos()$ jest różnowartościowa w przedziale $[0,\pi]$, na czym opiera się definicja funkcji $arccos()$ jako odwrotnej.



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj