logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Teoria mnogości, zadanie nr 5833

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

rms
postów: 11
2018-11-02 01:51:03

Zbadać jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami, jeśli prawdziwa jest równość:
$(A \cup B)\backslash(B \cap C) = A \cap C $


tumor
postów: 8085
2018-11-02 06:42:18

Myślę, że może być najłatwiej to zrobić rysując diagram Venna (trzy kółka). Rysujemy go dla lewej strony, zaznaczając, które przekroje są puste, a które niekoniecznie, rysujemy dla prawej, zaznaczając to samo.
Wnioskujemy na podstawie porównania lewej strony i prawej.





rms
postów: 11
2018-11-02 16:28:47

Podejrzemwam, że $A\cup B \subset C $


tumor
postów: 8085
2018-11-04 23:03:03

Tak.



rms
postów: 11
2018-11-05 17:59:44

A te diagramy Venna służą jako taka pomoc a potem trzeba to jeszcze rozpisać i udowodnić?


tumor
postów: 8085
2018-11-05 20:57:40

Forma udzielenia odpowiedzi zależy już od wykładowcy.

Diagramy Venna są jednakże ścisłą drogą uzyskania odpowiedzi.
Dla trzech zbiorów okręgi wyznaczają następujące obszary:
$A\cap B\cap C$
$A'\cap B\cap C$
$A\cap B'\cap C$
$A\cap B\cap C'$
$A\cap B'\cap C'$
$A'\cap B\cap C'$
$A'\cap B'\cap C$
$A'\cap B'\cap C'$

Rozwiązując zadanie za pomocą diagramu Venna pokazujemy, że po lewej stronie dla wszelkich A,B,C jest
$A\cap B\cap C=\emptyset$
$A'\cap B\cap C=\emptyset$
$A'\cap B'\cap C'=\emptyset$
$A'\cap B'\cap C=\emptyset$
natomiast po prawej dla wszelkich A,B,C jest
$A'\cap B\cap C=\emptyset$
$A\cap B\cap C'=\emptyset$
$A\cap B'\cap C'=\emptyset$
$A'\cap B\cap C'=\emptyset$
$A'\cap B'\cap C=\emptyset$
$A'\cap B'\cap C'=\emptyset$
To, co się między tymi stronami różni, charakteryzuje te konkretne zbiory A,B,C. Mamy zatem
$A\cap B\cap C=\emptyset$
$A\cap B\cap C'=\emptyset$
$A\cap B'\cap C'=\emptyset$
$A'\cap B\cap C'=\emptyset$
Trzy ostatnie równości mówią, że $A\subset C$ i $B\subset C$, pierwsza, gdyby to kogoś interesowało, mówi w dodatku o tym, że A i B nie mają wspólnych elementów.

Metoda diagramów Venna jest ścisła, a przez to, że rysunkowa - jest intuicyjna i szybka. Ja bym nie potrzebował rozpiski w literkach, ale oczywiście się da.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 39 drukuj