logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5834

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2018-11-02 08:23:04

Dany jest zbior 4-elementowy $A=\{a,b,c,d\}$. W kazdym z ponizszych punktow uzasadnic, dlaczego nie istnieje dzialanie grupowe $*$ w zbiorze $A$ wiedzac, ze:
a) $b*a=b$; $b*b=c$; $b*c=d$; $b*d=c$.
---------------------------------------------------------------
Element neutralny $e\in A$:
Dla kazdego $x\in A$ $x*e=x \wedge e*x=x$ (w przypadku dzialania przemiennego wystarczy tylko jeden warunek-sprawdzic badz znac).

Zal. ze $*$ ma $e$.
Element odwrotny do $x$:
$x*x^{-1}=e \wedge x^{-1}*x=e$ (w przypadku dzialania przemiennego wystarczy tylko jeden warunek-sprawdzic badz znac).
---------------------------------------------------------------
a)
$|A|=4$, zatem $a\neq b\neq c \neq d$.

z warunku $b*a=b$ nie wynika, ze $a$ jest elementem neutralnym $*$ (brakuje drugiego warunku)

wiedzac, ze $b*b=c$ oraz $b*d=c$ mam $b*b=b*d$.

Czyli $b^{2}=b*d$ / obustronnie mnoze z lewej strony przez $b^{-1}$
$b^{-1}*b^{2}=b^{-1}*b*d$
$b=d$ sprzecznosc, bo $b\neq d$.
(ale tak naprawde korzystam z tego, ze $b^{-1}*b=e$, czyli ze dzialanie $*$ ma element neutralny, wiec nie rozumiem)

b)
$c*a=d$; $b*c=b$

z warunku $b*c=b$ nie wynika, ze $c$ jest elementem neutralnym $*$ (brakuje drugiego warunku)


Wiadomość była modyfikowana 2018-11-03 09:26:57 przez geometria

geometria
postów: 854
2018-11-02 18:01:21





Wiadomość była modyfikowana 2018-11-03 09:27:19 przez geometria

tumor
postów: 8085
2018-11-03 22:35:02

a) działanie grupowe musi spełniać warunki:
- el neutralny
- łączność
- el przeciwny
a poza tym wiemy, że zbiór ma mieć 4 elementy.

Rozwiązujesz to zadanie poprawnie, bo chodzi po prostu o to, że te warunki nie mogą wystąpić równocześnie. Jeśli elementy są parami różne (nie wystarczy napisać $a\neq b \neq c \neq d$, bo jeszcze $a \neq c, a\neq d, b\neq d$), to elementem neutralnym nie jest b, nie jest c, nie jest d, musi nim być a. Oczywiście nie jest pewne, że a nim w ogóle jest, ale mamy tu dwie opcje
- a także nim nie jest (koniec zadania, warunek grupy nie jest spełniony)
- a jednak nim jest (wtedy kontynuujemy rozumowanie).

Zawsze, gdy chcesz pokazać, że warunki nie występują równocześnie, możesz założyć występowanie wszystkich poza jednym (jak Ci wygodnie) i pokazać, że ten jeden, ostatni, wówczas spełniony być nie może.

W powyższym zadaniu możesz zatem zakładać, że działanie jest łączne, zakładać, że istnieje element neutralny (jedynym kandydatem jest a), zakładać, że istnieją elementy przeciwne (w tym $b^{-1}$), wówczas pokazujesz, że niemożliwym jest, by zbiór miał 4 elementy.

I to jest ok.

(Bo oczywiście bez wymogu, że ten zbiór jest czteroelementowy, można z tego zrobić grupę łatwo: trywialną, gdzie a=b=c=d jest elementem jedynym, neutralnym, przeciwnym do siebie)


-----


b)
Jak poprzednio: możemy założyć, że jakiś element neutralny istnieje, istnieją elementy przeciwne, a działanie jest łączne.
Nie jest elementem neutralnym c, nie jest nim a, skoro ca=d.
Jednakże skoro c nie jest neutralny, to nie może być bc=b, (bo mnożąc znów lewostronnie przez $b^{-1}$...). Sprzeczność.

---

Powtarzam zatem: jeśli masz pokazać, że pewien zestaw warunków prowadzi do sprzeczności (warunki nie mogą być spełnione jednocześnie), możesz dowodzić to zakładając wszystkie warunki poza jednym dowolnie wybranym i pokazując, że ten jeden zachodzić już nie może.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 121 drukuj