logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5835

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2018-11-02 09:28:39

1. O elementach $a,b$ grupy $G$ wiadomo, ze $ord(a)=3$ i $ord(b)=7$. Udowodnic, ze $a^{5}b^{5}\neq e$.

Z def. rzedu elementu grupy otrzymuje:
$a^{3}=e$ oraz $b^{7}=e$, wiec $a^{3}=b^{7}$.

Moge prosic o podpowiedzi?

Wiadomość była modyfikowana 2018-11-03 11:45:59 przez geometria

tumor
postów: 8070
2018-11-03 22:40:10

W innym zadaniu dowodzimy, że $ord(a)=ord(a^{-1})$, można się na tym oprzeć.

gdyby $a^5b^5=e$
to $b^5=(a^{-1})^5=(a^{-1})^2$
podnieśmy obie strony do trzeciej potęgi
Wówczas $b^{15}=(a^{-1})^6=e$

skoro $b^{14}=e=b^{15}$ to $b^1=e$, sprzeczność


geometria
postów: 863
2018-11-26 09:41:36

Czyli jak dobrze rozumiem, to:
z tresci zadania wynika, ze dowolny element grupy $G$ podniesiony do potegi trzeciej (np. $(b^{5})^{3}=b^{15}=e$) lub do potegi siodmej (np. $(b^{2})^{7}=b^{14}=e$) jest elementem neutralnym.


Tylko nie wiem dlaczego $(a^{-1})^{5}=(a^{-1})^{2}$ i $b=e$ to sprzecznosc?


tumor
postów: 8070
2018-11-26 10:52:34

Z treści zadania wiadomo, że $a^3=a^6=a^9=...=e$
$b^7=b^{14}=b^{21}=...=e$

NIE oznacza to dowolnego elementu podniesionego do trzeciej/piątej potęgi, oznacza to konkretne dwa elementy a,b podnoszone do odpowiednich potęg.

Z innego zadania wiemy, że $ord(a)=ord(-a)$
czy w zapisie multiplikatywnym $ord(a)=ord(a^{-1})$

---
Faktu, że $a^5b^5 \neq 0$ dowodzimy nie wprost. Zakładamy, że
$a^5b^5=e$
mnożymy obustronnie przez $a^{-5}$
wynika stąd
$b^5=(a^{-1})^5=(a^{-1})^3(a^{-1})^2=e(a^{-1})^2=(a^-1)^2$
po podniesieniu obustronnie do trzeciej potęgi jest
$b^{15}=(a^{-1})^6$
czyli
$b^7b^7b=eeb=b=(a^{-1})^3(a^{-1})^3=ee=e$
wychodzi stąd $b=e$
wtedy byłoby jednak $ord(b)=1$, co przeczy warunkowi zadania.



geometria
postów: 863
2018-11-26 13:24:09

No tak, bo $ord(b)=7$. Dziekuje.




geometria
postów: 863
2018-11-26 17:01:17

2. Dana jest grupa $G$ i $a, b\in G$.
Załozmy, ze $a^{2}bab^{3}=e$ oraz $b^{2}aba^{3}=e$. Udowodnic, ze $a^{7}=e$.

Czy z warunku $a^{2}bab^{3}=b^{2}aba^{3}$ wynika, ze ta grupa jest przemienna?


geometria
postów: 863
2018-12-07 13:20:34

No bo $a$ mogloby sie sumowac do 7, natomiast $b$ mozna by skrocic do $e$.
Od jakich przeksztalcen zaczac?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 16 drukuj