Algebra, zadanie nr 5835
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
geometria postów: 865 | 2018-11-02 09:28:39 1. O elementach $a,b$ grupy $G$ wiadomo, ze $ord(a)=3$ i $ord(b)=7$. Udowodnic, ze $a^{5}b^{5}\neq e$. Z def. rzedu elementu grupy otrzymuje: $a^{3}=e$ oraz $b^{7}=e$, wiec $a^{3}=b^{7}$. Moge prosic o podpowiedzi? Wiadomość była modyfikowana 2018-11-03 11:45:59 przez geometria |
tumor postów: 8070 | 2018-11-03 22:40:10 W innym zadaniu dowodzimy, że $ord(a)=ord(a^{-1})$, można się na tym oprzeć. gdyby $a^5b^5=e$ to $b^5=(a^{-1})^5=(a^{-1})^2$ podnieśmy obie strony do trzeciej potęgi Wówczas $b^{15}=(a^{-1})^6=e$ skoro $b^{14}=e=b^{15}$ to $b^1=e$, sprzeczność |
geometria postów: 865 | 2018-11-26 09:41:36 Czyli jak dobrze rozumiem, to: z tresci zadania wynika, ze dowolny element grupy $G$ podniesiony do potegi trzeciej (np. $(b^{5})^{3}=b^{15}=e$) lub do potegi siodmej (np. $(b^{2})^{7}=b^{14}=e$) jest elementem neutralnym. Tylko nie wiem dlaczego $(a^{-1})^{5}=(a^{-1})^{2}$ i $b=e$ to sprzecznosc? |
tumor postów: 8070 | 2018-11-26 10:52:34 Z treści zadania wiadomo, że $a^3=a^6=a^9=...=e$ $b^7=b^{14}=b^{21}=...=e$ NIE oznacza to dowolnego elementu podniesionego do trzeciej/piątej potęgi, oznacza to konkretne dwa elementy a,b podnoszone do odpowiednich potęg. Z innego zadania wiemy, że $ord(a)=ord(-a)$ czy w zapisie multiplikatywnym $ord(a)=ord(a^{-1})$ --- Faktu, że $a^5b^5 \neq 0$ dowodzimy nie wprost. Zakładamy, że $a^5b^5=e$ mnożymy obustronnie przez $a^{-5}$ wynika stąd $b^5=(a^{-1})^5=(a^{-1})^3(a^{-1})^2=e(a^{-1})^2=(a^-1)^2$ po podniesieniu obustronnie do trzeciej potęgi jest $b^{15}=(a^{-1})^6$ czyli $b^7b^7b=eeb=b=(a^{-1})^3(a^{-1})^3=ee=e$ wychodzi stąd $b=e$ wtedy byłoby jednak $ord(b)=1$, co przeczy warunkowi zadania. |
geometria postów: 865 | 2018-11-26 13:24:09 No tak, bo $ord(b)=7$. Dziekuje. |
geometria postów: 865 | 2018-11-26 17:01:17 2. Dana jest grupa $G$ i $a, b\in G$. Załozmy, ze $a^{2}bab^{3}=e$ oraz $b^{2}aba^{3}=e$. Udowodnic, ze $a^{7}=e$. Czy z warunku $a^{2}bab^{3}=b^{2}aba^{3}$ wynika, ze ta grupa jest przemienna? |
geometria postów: 865 | 2018-12-07 13:20:34 No bo $a$ mogloby sie sumowac do 7, natomiast $b$ mozna by skrocic do $e$. Od jakich przeksztalcen zaczac? |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj