Algebra, zadanie nr 5835
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
geometria post贸w: 865 |  2018-11-02 09:28:391. O elementach $a,b$ grupy $G$ wiadomo, ze $ord(a)=3$ i $ord(b)=7$. Udowodnic, ze $a^{5}b^{5}\neq e$. Z def. rzedu elementu grupy otrzymuje: $a^{3}=e$ oraz $b^{7}=e$, wiec $a^{3}=b^{7}$. Moge prosic o podpowiedzi? Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2018-11-03 11:45:59 przez geometria |
tumor post贸w: 8070 | 2018-11-03 22:40:10 W innym zadaniu dowodzimy, 偶e $ord(a)=ord(a^{-1})$, mo偶na si臋 na tym oprze膰. gdyby $a^5b^5=e$ to $b^5=(a^{-1})^5=(a^{-1})^2$ podnie艣my obie strony do trzeciej pot臋gi W贸wczas $b^{15}=(a^{-1})^6=e$ skoro $b^{14}=e=b^{15}$ to $b^1=e$, sprzeczno艣膰 |
geometria post贸w: 865 | 2018-11-26 09:41:36 Czyli jak dobrze rozumiem, to: z tresci zadania wynika, ze dowolny element grupy $G$ podniesiony do potegi trzeciej (np. $(b^{5})^{3}=b^{15}=e$) lub do potegi siodmej (np. $(b^{2})^{7}=b^{14}=e$) jest elementem neutralnym. Tylko nie wiem dlaczego $(a^{-1})^{5}=(a^{-1})^{2}$ i $b=e$ to sprzecznosc? |
tumor post贸w: 8070 | 2018-11-26 10:52:34 Z tre艣ci zadania wiadomo, 偶e $a^3=a^6=a^9=...=e$ $b^7=b^{14}=b^{21}=...=e$ NIE oznacza to dowolnego elementu podniesionego do trzeciej/pi膮tej pot臋gi, oznacza to konkretne dwa elementy a,b podnoszone do odpowiednich pot臋g. Z innego zadania wiemy, 偶e $ord(a)=ord(-a)$ czy w zapisie multiplikatywnym $ord(a)=ord(a^{-1})$ --- Faktu, 偶e $a^5b^5 \neq 0$ dowodzimy nie wprost. Zak艂adamy, 偶e $a^5b^5=e$ mno偶ymy obustronnie przez $a^{-5}$ wynika st膮d $b^5=(a^{-1})^5=(a^{-1})^3(a^{-1})^2=e(a^{-1})^2=(a^-1)^2$ po podniesieniu obustronnie do trzeciej pot臋gi jest $b^{15}=(a^{-1})^6$ czyli $b^7b^7b=eeb=b=(a^{-1})^3(a^{-1})^3=ee=e$ wychodzi st膮d $b=e$ wtedy by艂oby jednak $ord(b)=1$, co przeczy warunkowi zadania. |
geometria post贸w: 865 | 2018-11-26 13:24:09 No tak, bo $ord(b)=7$. Dziekuje. |
geometria post贸w: 865 | 2018-11-26 17:01:17 2. Dana jest grupa $G$ i $a, b\in G$. Za艂ozmy, ze $a^{2}bab^{3}=e$ oraz $b^{2}aba^{3}=e$. Udowodnic, ze $a^{7}=e$. Czy z warunku $a^{2}bab^{3}=b^{2}aba^{3}$ wynika, ze ta grupa jest przemienna? |
geometria post贸w: 865 | 2018-12-07 13:20:34 No bo $a$ mogloby sie sumowac do 7, natomiast $b$ mozna by skrocic do $e$. Od jakich przeksztalcen zaczac? |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj