logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5836

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2018-11-03 11:56:48

1. W grupie $G$ dane sa elementy $a, b$ takie, ze $(ab)^{2}=ab$.
Udowodnic, ze $a$ i $b$ sa wzajemnie odwrotne.

$(ab)^{2}=ab$
$abab=ab$ / mnoze obustronnie z lewej strony przez $a^{-1}$
$bab=b$ / mnoze obustronnie z lewej strony przez $b^{-1}$
$ab=e$

$(ab)^{2}=ab$
$abab=ab$ / mnoze obustronnie z prawej strony przez $b^{-1}$
$aba=a$ / mnoze obustronnie z lewej strony przez $a^{-1}$
$ba=e$

Czyli $ab=ba=e$. Czy to wystarczy?

2. Zalozmy, ze w grupie $G$ dla wszystkich $a,b,c \in G$ mamy $(abc)^{-1}=a^{-1}b^{-1}c^{-1}$.
Udowodnic, ze grupa $G$ jest przemienna.

$(abc)^{-1}=a^{-1}b^{-1}c^{-1}$
Wiem, ze elementem odwrotnym do $abc$ jest $c^{-1}b^{-1}a^{-1}$, czyli
$(abc)^{-1}=c^{-1}b^{-1}a^{-1}$
Zatem $a^{-1}b^{-1}c^{-1}=c^{-1}b^{-1}a^{-1}$
Jak dalej to przeksztalcac?

Wiadomość była modyfikowana 2018-11-03 12:01:17 przez geometria

tumor
postów: 8085
2018-11-03 22:44:27

1. W zupełności wystarczy.

2. Nie komplikować. Za dowolną literkę podstawić e. (Bo wszak warunek ma być spełniony dla wszystkich a,b,c, więc także wtedy, gdy jeden z tych elementów jest neutralny.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj