logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 5844

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ollaxd52
postów: 6
2018-11-05 21:55:42

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną.
a)Wykaż, że suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
b) Wykaż, że przekrój dowolnej kolekcji zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.
c)Wskaż przykład, że suma nieskończonej kolekcji zbiorów domkniętych nie musi być zbiorem domkniętym.


tumor
postów: 8085
2018-11-05 23:06:24

Przydałyby się stosowane definicje.

Zapewne było coś podobnego:

def. Zbiór $A$ nazywamy otwartym, jeśli dla każdego $x\in A$ istnieje $r_x>0$, że $K(x,r)\subset A$.

W ten sposób można przedstawić $A$ jako sumę kul otwartych
$A=\bigcup_{x\in A}K(x,r_x)$

Jeśli zbiór domknięty był definiowany jako dopełnienie otwartego (albo też dowiedziono tego jako własności przy innej definicji), to od razu mamy, że
b) $\bigcap_{i\in I}(U_i)'=(\bigcup_{i\in I}U_i)'$

Przekrój skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, jeśli bowiem x jest elementem każdego ze zbiorów otwartych, zawiera się tam wraz z kulami otwartymi, ze skończonej ilości promieni możemy wybrać najmniejszy r, czyli K(x,r) zawiera się w przekroju.

a) $\bigcup_{i=1}^n(U_i)'=(\bigcap_{i=1}^nU_i)'$

c) $\bigcup_{n\in N}[\frac{1}{n}-2, -\frac{1}{n}+2]=(-2,2)$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 117 drukuj