logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5849

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2018-11-12 18:14:55

Czy istnieje homomorfizm grup $f:G\rightarrow H$?
1.$ G=(R, +), H=(R\backslash \{0\}, \cdot), f(1)=5.$
$e_{G}=0, e_{H}=1, f(0)=1$
$f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=5^{2}$
$f(3)=5^{3}$
$f(1)=f(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=(f(\frac{1}{2}))^{2}=5$, czyli $f(\frac{1}{2})=5^{\frac{1}{2}}$
Dla argumentu $1$ element odwrotny to:
grupa $G$ jest addytywna, wiec pisze $f(-1)$, grupa $H$ jest multiplikatywna, wiec pisze $(f(1))^{-1}$ i mam:
$f(-1)=(f(1))^{-1}$, czyli $f(-1)=(5)^{-1}=\frac{1}{5}$
Homomorfizm $f(x)=5^{x}$, $x\in R$
Dla kazdego $x,y\in R f(x+y)=5^{x+y}=5^{x}5^{y}=f(x)f(y)$.

$im(f)=\{5^{x}\in H: x\in R\}=\{5^{x}: x\in R\}$
Czy da sie $im(f)$ zapisac prosciej?



tumor
postów: 8085
2018-11-12 18:45:25

Homomorfizm podany jest ok.

$im(f)=R^+$, w ten sposób da się zapisać prościej.


Wiadomość była modyfikowana 2018-11-12 18:46:07 przez tumor

geometria
postów: 854
2018-11-13 12:27:41

a) $im(f)=\{99g\in R : g\in R\}=99R$
b) $im(f)=\{2^{x}\in R\backslash \{0\} : x\in Q\}=\{2^{x} : x\in Q\}$
Czy dobrze? Moze b) da sie prosciej?

2. $f: G\rightarrow H$
$G=(Z_{4}, +_{4}), H=(Z_{14}, +_{14}), f(2)=7.$
Wiemy, ze $f(0)=0.$
$f(2)=f(1+_{4}1)=f(1)+_{14}f(1)=r_{14}(2f(1))=7$
$2f(1)=7$
$7=r_{14}(49)=r_{14}(7\cdot 7)=r_{14}(2f(1)\cdot 7)=r_{14}(14\cdot f(1))=0$
$0\neq 7$
Zatem homomorfizm $f$ nie istnieje.


tumor
postów: 8085
2018-11-13 12:43:34

a) może $R$?

2. Ok


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 21 drukuj