logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 5855

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 854
2018-11-15 11:45:49

Twierdzenia
(1) Zalozmy, ze $G$ jest grupa cykliczna, skonczona i generowana przez element $a$, $H$ jest dowolna grupa, $b\in H$ oraz $ord(b)$ jest skonczony i dzieli $ord(a)$. Wowczas istnieje dokladnie jeden homomorfizm grup $f:G\rightarrow H$ taki, ze $f(a)=b$.

(2) Zalozmy, ze $G$ jest grupa cykliczna, nieskonczona i generowana przez element $a$, $H$ jest dowolna grupa oraz $b\in H$. Wowczas istnieje dokladnie jeden homomorfizm grup $f:G\rightarrow H$ taki, ze $f(a)=b$.
---------------------------------------------------------------
Wyznaczyc wszystkie homomorfizmy $f:G\rightarrow H$, gdzie:
a) $G=(Z, +)$, $H=(Z_{4}, +_{4})$

Elementy neutralne przechodza na elementy neutralne, czyli $f(0)=0$.
$Z_{4}=\{0,1,2,3\}$
$G=Z$ jest cykliczna, nieskonczona i $Z=\lt 1\gt$ oraz $Z=\lt -1\gt$ (czyli twierdzenie (2))

$f(1)=b$, $b\in Z_{4}$ (czyli sa 4 homomorfizmy)
Ale rownież:
$f(-1)=b$, $b\in Z_{4}$ (czyli sa 4 homomorfizmy).
Razem jest ich 8.

Dlaczego teraz $f(0)=0$ nie obowiazuje? Czy ta wlasnosc obowiazuje, gdy mamy podany jakis warunek np. $f(3)=1$ tak jak w poprzednich zadaniach?


tumor
postów: 8085
2018-11-16 10:04:42

f(0)=0 z pewnością obowiązuje.

Gdyby $f(0)=a\neq 0$, to
$f(0+0)=a+a=a$
$f(0+0+0)=a+a+a=a$

i tak dalej, czyli rząd elementu $a$ byłby nieskończony, nieważne ile razy dodasz do siebie $a$, zawsze wyjdzie $a$, nigdy 0. A przecież rząd grupy $Z_4$ nie jest nieskończony. :)

---

Może być f(1)=0, wtedy f(-1)=0 i ogólnie f(a)=0, to będzie homomorfizm.

Może być f(1)=1, wtedy f(-1)=3 (bo $f(0)=f(-1+1)=0=f(-1)+1$)
Może być f(1)=2, wtedy f(-1)=2, ogólnie f(a)=2 dla a nieparzystych, f(a)=0 dla a parzystych.

Może być f(1)=3, wtedy f(-1)=1.

Teraz wypisz mi proszę cztery inne homomorfizmy. :)


------
A z tymi twierdzeniami co robić? Drugie jakby mówi właśnie to, że będą cztery homomorfizmy, które wypisałem.


geometria
postów: 854
2018-11-16 10:34:54

Nie bedzie juz wiecej innych homomorfizmow. Sa tylko 4.


geometria
postów: 854
2018-11-17 08:09:38

Czyli ostatecznie mozna to zapisac tak:
a) $f(-1)=b$, $b\in Z_{4}$ albo $f(1)=b$, $b\in Z_{4}$ albo $f(x)=r_{4}(bx)$, $x\in Z$, $b\in Z_{4}$.


geometria
postów: 854
2018-11-17 14:52:19

b) $G=H=(Q, +)$
Grupa $(Q, +)$ nie jest cykliczna.

$f(nx)=nf(x)$, $n=1,2,3,...$
$0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)$, $f(-x)=-f(x)$
Niech $ m\in Z$, $n$ dodatnie.
$mf(1)=f(m)=f(n\frac{m}{n})=nf(\frac{m}{n})$
$f(\frac{m}{n})=f(1)\frac{m}{n}$
Niech $x=\frac{m}{n}$, $f(1)=k$, $k\in Q$
Wtedy $f(x)=kx$, $k,x\in Q$.
Dobrze?


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 115 drukuj