logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Topologia, zadanie nr 5856

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

ollaxd52
postów: 6
2018-11-15 17:53:02

Niech (X,d) będzie przestrzenią metryczną i niech A będzie podzbiorem niepustym X z metryką dziedziczoną.
Wykaż, że:
a) jeśli U $\subset$ A jest otwarty(domknięty) w X, to jest otwarty(domknięty) w A.
b) implikacji z a) nie można odwrócić
c) Przypuśćmy, że A jest zbiorem otwartym(domkniętym). Wykaż, że U $\subset$ A jest otwarty(domknięty) w X wtedy i tylko wtedy, gdy U jest otwarty (domknięty) w A.


tumor
postów: 8085
2018-11-20 09:03:01

Dość istotne, jakie były definicje (topologie można wprowadzać od różnych stron).

a)
definicja topologii dziedziczonej mówi zapewne to właśnie, że jest to rodzina przekrojów $U\cap A$, gdzie $U$ jest otwarty w $X$.

Jeśli $U\subset A$ i $U$ otwarty w $X$, to oczywiście $U\cap A= U$, będzie to zatem zbiór otwarty w $A$ w sensie topologii dziedziczonej.

Jeśli $F\subset A$ i $F$ domknięty w $X$, to $X\backslash F$ otwarty w $X$,
$(X\backslash F) \cap A$ otwarty w $A$, no ale
$(X\backslash F) \cap A=A\backslash F$, czyli jest to także zbiór otwarty w $A$, a $F$ domknięty w $A$.

b)
Wystarczy przykład, można uruchomić wyobraźnię. Najprościej
$U=(0,1]$ nie jest ani otwarty ani domknięty w $R$ z naturalną metryką.
Dla $A=(0,1]$ mamy oczywiście $U\subset A$, przy tym $U$ jest otwarty i domknięty w $A$.

c)
Wystarczy skorzystać z faktu, że przekrój dwóch zbiorów otwartych jest otwarty, przekrój dwóch domkniętych jest domknięty.


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 116 drukuj