Algebra, zadanie nr 5861
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
| geometria postów: 865 |  2018-11-18 13:42:571. Zalozmy, ze $f, g: G\rightarrow H $ sa homomorfizmami grup, $a\in G$ jest generatorem grupy $G$ i $f(a)=g(a)$. Udowodnic, ze $f=g$. Homomorfizm jest okreslony na generatorze. $G=\lt a \gt .$ Funkcje sa rowne jak maja rowne dziedziny (co jest spelnione) i dla kazdego argumentu przyjmuja te same wartosci. Niech $n\in G$. Trzeba pokazac, ze $f(n)=g(n)$. Niech $f(a)=g(a)=x\in H$. Przyjme, ze dzialanie w $G$ i $H$ to $*$. $f(n)=f(\underbrace{a*a*\ldots*a}_{n})=\underbrace{f(a)*f(a)+\ldots*f(a)}_{n}=x^{n}$ $g(n)=g(\underbrace{a*a*\ldots*a}_{n})=\underbrace{g(a)*g(a)+\ldots*g(a)}_{n}=x^{n}$ Czyli $f(n)=g(n)$ dla $n$ calkowitego nieujemnego. $n$ calkowite ujemne: $f(-n)=g(-n)={(x^{n})}^{-1}=x^{-n}$. Stad $f(n)=g(n)$ dla $k\in Z$. A jak wykazac dla dalszych. Bo nie wiem co jest dziedzina w $G$. 2. Dana jest grupa $G$, jej element $a\in G$ oraz homomorfizmy grup $f:(Z, +)\rightarrow G$ i $g:(Z, +)\rightarrow G$ takie, ze $a=f(1)=g(1)$. Udowodnic, ze $f(k)=g(k)$ dla $k\in Z$. Homomorfizm jest okreslony na generatorze. $Z=\lt 1 \gt .$ Przyjme, ze dzialanie w $G$ to $*$. Dla $k$ calkowitego nieujemnego: $f(k)=f(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{k})=\underbrace{f(1)*f(1)*\ldots*f(1)}_{k}=a^{k}$ $g(k)=g(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{k})=\underbrace{g(1)*g(1)*\ldots*g(1)}_{k}=a^{k}$ Dla $k$ calkowitego niedodatniego: $f(k)=g(k)=a^{k}$, $k$ calkowite nieujemne $g(-k)=f(-k)={(a^{k})}^{-1}=a^{-k}$, $(-k)$ calkowite niedodatnie Stad $f(k)=g(k)$ dla $k\in Z$. Dobrze? Wiadomość była modyfikowana 2018-11-19 10:21:20 przez geometria |
| tumor postów: 8070 | 2018-11-20 10:02:34 1. Jakieś to takie wszystko rozwlekłe. $f(x)=f(a^k)=f^k(a)=g^k(a)=g(a^k)=g(x)$ gdzie $x=a^k$ jest elementem grupy generowanej przez $a$. Nie rozumiem zdania "co jest dziedziną w G", wydaje mi się dość oczywiste, że G jest dziedziną. Zapis $f:G\to H$ dość wyraźnie mówi, że dziedziną funkcji f jest zbiór G. Nie wiem, czemu niby "homomorfizm jest określony na generatorze". Generatorem jest $a$, a homomorfizm jest określony na grupie generowanej przez $a$, nie tylko na generatorze. 2. Dla k dodatnich oczywiście $f(k)=k*f(1)=k*a=k*g(1)=g(k)$ (Zwracam uwagę, że w powyższym mamy zapis addytywny, nie multiplikatywny) Dla k ujemnych będzie identycznie, skoro $f(-1)=g(-1)=-a$ (zapis ciągle addytywny). Bowiem $f(-1)+f(1)=f(0)=e=g(0)=g(-1)+g(1)$ czyli $f(-1)+a=e=g(-1)+a$ |
| geometria postów: 865 | 2018-11-20 15:45:17 2. Ale teoretycznie nie wiem jakie dzialanie jest w grupie $G$, wiec moze byc to dzialanie $*$ i wowczas zapisane multiplikatywnie. |
| tumor postów: 8070 | 2018-11-21 11:10:30 Zapisy addytywne i multiplikatywne znaczą to samo. Dotyczą struktury, nie jakiejś konkretnej realizacji tej struktury (tzn różne grupy mogą być izomorficzne, w niektórych nam się łatwiej myśli mnożeniem, w innych dodawaniem, ale to nie ma znaczenia, to tylko konwencje zapisu). |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj