logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5861

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2018-11-18 13:42:57

1. Zalozmy, ze $f, g: G\rightarrow H $ sa homomorfizmami grup, $a\in G$ jest generatorem grupy $G$ i $f(a)=g(a)$.
Udowodnic, ze $f=g$.

Homomorfizm jest okreslony na generatorze.
$G=\lt a \gt .$

Funkcje sa rowne jak maja rowne dziedziny (co jest spelnione) i dla kazdego argumentu przyjmuja te same wartosci.

Niech $n\in G$. Trzeba pokazac, ze $f(n)=g(n)$.
Niech $f(a)=g(a)=x\in H$.
Przyjme, ze dzialanie w $G$ i $H$ to $*$.

$f(n)=f(\underbrace{a*a*\ldots*a}_{n})=\underbrace{f(a)*f(a)+\ldots*f(a)}_{n}=x^{n}$
$g(n)=g(\underbrace{a*a*\ldots*a}_{n})=\underbrace{g(a)*g(a)+\ldots*g(a)}_{n}=x^{n}$
Czyli $f(n)=g(n)$ dla $n$ calkowitego nieujemnego.
$n$ calkowite ujemne:
$f(-n)=g(-n)={(x^{n})}^{-1}=x^{-n}$. Stad $f(n)=g(n)$ dla $k\in Z$.
A jak wykazac dla dalszych. Bo nie wiem co jest dziedzina w $G$.

2. Dana jest grupa $G$, jej element $a\in G$ oraz homomorfizmy grup $f:(Z, +)\rightarrow G$ i $g:(Z, +)\rightarrow G$ takie, ze $a=f(1)=g(1)$. Udowodnic, ze $f(k)=g(k)$ dla $k\in Z$.

Homomorfizm jest okreslony na generatorze.
$Z=\lt 1 \gt .$

Przyjme, ze dzialanie w $G$ to $*$.
Dla $k$ calkowitego nieujemnego:
$f(k)=f(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{k})=\underbrace{f(1)*f(1)*\ldots*f(1)}_{k}=a^{k}$
$g(k)=g(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{k})=\underbrace{g(1)*g(1)*\ldots*g(1)}_{k}=a^{k}$
Dla $k$ calkowitego niedodatniego:
$f(k)=g(k)=a^{k}$, $k$ calkowite nieujemne
$g(-k)=f(-k)={(a^{k})}^{-1}=a^{-k}$, $(-k)$ calkowite niedodatnie
Stad $f(k)=g(k)$ dla $k\in Z$.

Dobrze?

Wiadomość była modyfikowana 2018-11-19 10:21:20 przez geometria

tumor
postów: 8070
2018-11-20 10:02:34

1. Jakieś to takie wszystko rozwlekłe.

$f(x)=f(a^k)=f^k(a)=g^k(a)=g(a^k)=g(x)$
gdzie $x=a^k$ jest elementem grupy generowanej przez $a$.

Nie rozumiem zdania "co jest dziedziną w G", wydaje mi się dość oczywiste, że G jest dziedziną.
Zapis $f:G\to H$ dość wyraźnie mówi, że dziedziną funkcji f jest zbiór G.
Nie wiem, czemu niby "homomorfizm jest określony na generatorze".
Generatorem jest $a$, a homomorfizm jest określony na grupie generowanej przez $a$, nie tylko na generatorze.

2. Dla k dodatnich oczywiście $f(k)=k*f(1)=k*a=k*g(1)=g(k)$

(Zwracam uwagę, że w powyższym mamy zapis addytywny, nie multiplikatywny)

Dla k ujemnych będzie identycznie, skoro $f(-1)=g(-1)=-a$ (zapis ciągle addytywny).

Bowiem $f(-1)+f(1)=f(0)=e=g(0)=g(-1)+g(1)$
czyli
$f(-1)+a=e=g(-1)+a$


geometria
postów: 863
2018-11-20 15:45:17

2. Ale teoretycznie nie wiem jakie dzialanie jest w grupie $G$, wiec moze byc to dzialanie $*$ i wowczas zapisane multiplikatywnie.


tumor
postów: 8070
2018-11-21 11:10:30

Zapisy addytywne i multiplikatywne znaczą to samo. Dotyczą struktury, nie jakiejś konkretnej realizacji tej struktury (tzn różne grupy mogą być izomorficzne, w niektórych nam się łatwiej myśli mnożeniem, w innych dodawaniem, ale to nie ma znaczenia, to tylko konwencje zapisu).

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj