logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5871

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2018-11-22 16:04:54

Chcialbym ustalic kilka faktow na temat obrotow w grupie $D_n$.

Niech:
$O_{x}$ to obrot o kat $x$ przeciwny do ruchu wskazowek zegara
$O_{y}$ to obrot o kat $y$ przeciwny do ruchu wskazowek zegara

Czy prawda jest, ze:
1) $O_{x}O_{x}=O_{2x}$
2) $O_{x}O_{y}=O_{x+y}$
3) $O_{x}O_{y}=O_{y}O_{x}$ ?

Ponadto czy element postaci $x^{2}$ w grupie $D_n$ oznacza podwojne zlozenie obrotu o kat $x$?


tumor
postów: 8070
2018-11-22 20:53:29

Według mnie rozważanie obrotów przez dzielenie ich na zgodne i niezgodne z ruchem wskazówek zegara jest bez sensu.

Bo nie wiem, czy $O_{2x}, O_{x+y}$ mają być obrotami zgodnymi z ruchem wskazówek czy nie? Nigdzie tego nie ma.

Wzory będą się zgadzać (wszystkie trzy), jeśli obrót będzie w jedną stronę, raczej domyślnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Jeśli chce się mieć kierunek zgodny ze wskazówkami, można zawsze zmieniać kątom znak na ujemny.

Zatem obrót przeciwnie do ruchu wskazówek o 30 stopni zapisałbym
$O_{\frac{\pi}{6}}$
zgodny z ruchem wskazówek o 45 stopni
$O_{\frac{-\pi}{4}}$
a ich złożenie (przemienne) to
$O_{\frac{\pi}{6}}+O_{\frac{-\pi}{4}}=
O_{\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}}=
O_{\frac{-\pi}{12}}$
czyli obrót o 15 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Element $x^2 $ oznacza złożenie elementu x z elementem x. W grupie obrotów to będzie oczywiście obrót. Ale dlaczego o kąt x?
Elementem x jest jakiś obrót, na przykład $O_{\pi},$
wtedy $x^2$ to $O_{2\pi}=id$. Literka x nie jest przypisana akurat obrotowi o x (właściwie: x stopni czy x radianów?)


geometria
postów: 863
2018-11-22 21:12:56

Pytam o te elementy postaci $x^{2}$, bo mam takie zadanie:
Wyznaczyc wszystkie elementy postaci $x^{2}$
(a) w grupie kwaternionów $Q_{8}$,
(b) w grupie $S_{3}$,
(c) w grupie $S_{4}$,
(d) w grupie $D_3$,
(e) w grupie $D_4$,
(f) w grupie $K_4$.
Czy tworza one podgrupe ? Czy jest to podgrupa normalna?


geometria
postów: 863
2018-11-23 12:57:49

Ok. Dziekuje.

Ponadto zlozenie ze soba tych samych symetrii osiowych z grupy $D_{n}$ jest identycznoscia, czyli $S_{x}S_{x}=id$.

Czy, gdy ponumerujemy wierzcholki wielokata foremnego to wowczas symetrie osiowe mozna utozsamiac z transpozycjami?
Co by sie zgadzalo, bo zlozenie tych samych transpozycji jest identycznoscia ($(a,b)(a,b)=id$) ?


geometria
postów: 863
2018-12-02 22:03:29

c) $S_4$
$(id)^{2}=id$
transpozycje tez beda id.
A jak wyznaczyc wszystkie?

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 12 drukuj