logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5882

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2018-11-27 12:57:38

Niech $f$ bedzie automorfizmem grupy $(Z_{80},+_{80})$. Udowodnic, ze $f(40)=40$.

Czyli:
$f:(Z_{80},+_{80})\rightarrow (Z_{80},+_{80})$ oraz $f$ to izomorfizm.

$f$ jest homomorfizmem zatem elementy tych samych rzedów przechodza na siebie.
Ponadto $f(-40)=-f(40)$ (elementem odwrotnym do $x$ wzgledem $+_{80}$ jest $80-x$).

Zatem elementem odwrotnym do 40 jest 40.

Czy dobre rozumowanie?



tumor
postów: 8070
2018-12-02 21:23:05

w homomorfizmie nie wiemy, czy elementy o tych samych rzędach przechodzą na siebie (w szczególności łatwo o kontrprzykład: homomorfizm w którym wszystko przechodzi na element neutralny).

W izomorfizmie już wiemy, że f(a) ma ten rząd co a.

Zatem f(40) ma na pewno rząd 2, bo 40 ma rząd 2 (no a elementy o rzędzie 2 są, masz rację, odwrotne same do siebie).
Za wiele elementów rzędu 2 w tej grupie nie ma. Można szybko rozważyć wszystkie kandydatury.


geometria
postów: 863
2018-12-02 21:46:38

Jest tylko jeden element rzedu 2 w tej grupie, czyli element 40.
Ale jak pokazac, ze nie ma wiecej?


tumor
postów: 8070
2018-12-05 13:31:45

W zasadzie nie budzi wątpliwości, że jeśli dodajemy dwie liczby naturalne mniejsze niż 40, to wynik jest mniejszy niż 80, a jeśli dodajemy dwie liczby naturalne większe niż 40 i mniejsze niż 80, to wynik jest większy niż 80 i mniejszy niż 160. Zapisałbym tę myśl symbolicznie i więcej nie potrzeba.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 16 drukuj