logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5883

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

geometria
postów: 863
2018-11-27 16:16:48

Korzystajac z zasadniczego tw. o homomorfizmie grup uzasadnij, ze $S^{1}/\{-1, 1\}\cong S^{1}$, gdzie $S^{1}=\{z\in C: |z|=1\}$.


Czyli ten homomorfizm to:
$f: (S^{1}, \cdot)\rightarrow (C\backslash \{0\}, \cdot)$
$f(z)=|z| $
Tak?


Wiadomość była modyfikowana 2018-11-28 18:32:48 przez geometria

tumor
postów: 8070
2018-12-02 21:19:07

Masz mieć homomorfizm

$f:S^1\to G$

Grupa $G$ jest obojętna, byle $S^1\subset G$
a homomorfizm taki, żeby
$ker(f)=\{-1,1\}$
$im(f)=S^1$

Twój przykład nie spełnia warunków, mamy
$f(z)=|z|=1$ dla $z\in S^1$, czyli $im(f)=\{1\}, ker(f)=S^1$


Twój homomorfizm pokazuje, że $S^1/S^1$ izomorficzny z $(\{1\},\cdot)$


geometria
postów: 863
2018-12-02 22:15:01

Czyli niech $f: (S^{1}, \cdot)\rightarrow (C\backslash \{0\}, \cdot)$
$f(z)=z^{2}$
$f(ab)=(ab)^{2}=a^{2}b^{2}=f(a)f(b)$, czyli $f$ to homomorfizm.

$ker(f)=\{z\in S^{1}: z^{2}=1\}=\{z\in S^{1}: |z|=1\}=\{z\in S^{1}: z=-1 \vee z=1\}=\{-1, 1\} $
$im(f)=\{z^2 \in C\backslash \{0\}: z\in S^{1}\}=S^{1}$


tumor
postów: 8070
2018-12-05 13:27:08

Jest nieźle, ale wkradła się bzdurka.

$\{x\in S^1:z^2=1\}=\{-1,1\}$ jest rzeczywiście opisem $ker(f)$
natomiast $\{x\in S^1:|z|=1\}=S^1$ i nie ma wiele wspólnego z $ker(f)$


dla liczb rzeczywistych $z^2=1$ i $|z|=1$ znaczy to samo. Dla liczb zespolonych to dwa różne warunki.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj