logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Algebra, zadanie nr 5886

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

iwka
postów: 128
2018-12-02 11:02:41

Wielomian zespolony o miejscach zerowych i+2,i,-3i ma współczynniki rzeczywiste, a do jego jednoznacznego wyznaczenia potrzebna jest tylko znajomość współczynnika przy najwyższej potędze. Zakładając, że jest on 5 podaj postać iloczynową tego wielomianu.


tumor
postów: 8070
2018-12-02 12:06:29


Jeśli wielomian o współczynnikach rzeczywistych ma pierwiastek (a+bi), to ma też pierwiastek (a-bi).

Dowód:
Jeśli rozpiszemy ze wzoru dwumianowego wyrażenia
$(a+bi)^n$ oraz $(a-bi)^n$, to różnić się będą jedynie znakami przy składnikach urojonych (tam gdzie potęgi $i$ będą nieparzyste).
Załóżmy, że $W(a+bi)=0$.
Skoro W ma współczynniki rzeczywiste, to również
W(a+bi) różni się od W(a-bi) znakami przy wyrazach urojonych.
Skoro $re(W(a+bi))=0=re(W(a-bi))$ oraz $im(W(a+bi))=0=-im(W(a-bi))$, to $a-bi$ jest pierwiastkiem.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 17 drukuj