Analiza funkcjonalna, zadanie nr 591
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
sympatia17 post贸w: 42 |  2012-11-03 15:19:27Jakie ci膮gi s膮 zbie偶ne w metryce w臋z艂a kolejowego: $\left\{\begin{matrix} \rho\left( x,0\right) + \rho\left( y,0\right), & \text{gdy } x, \ y, \ 0 \text{ nie s膮 wsp贸艂liniowe} \\ \rho\left( x,y\right) , & \text{gdy } x, \ y, \ 0 \text{ s膮 wsp贸艂liniowe} \end{matrix}\right.$ Zacz臋艂am tak: Przypadek 1, gdy $x_{n}, x_{0}, 0$ s膮 wsp贸艂liniowe: $d\left( x_{n}, x_{0}\right) = \sqrt {\left( x_{1}^{n} - x_{1}^{0}\right)^{2} + \left( x_{2}^{n} - x_{2}^{0}\right)^{2} } < \epsilon$ Tutaj oczywiste jest, 偶e ci膮g jest zbie偶ny do $x_{0}$ gdy jest zbie偶ny w metryce euklidesowej (tj. zbie偶no艣膰 po wsp贸艂rz臋dnych) oraz $x_{n}, x_{0}, 0$ le偶膮 na jednej prostej. Przypadek 2, gdy $x_{n}, x_{0}, 0$ nie s膮 wsp贸艂liniowe: $d\left( x_{n}, x_{0}\right) = \rho\left( x_{n}, 0\right) + \rho\left( x_{0}, 0\right) = \sqrt {\left( x_{1}^{n}\right)^{2} + \left( x_{2}^{n}\right)^{2} } + \sqrt { \left( x_{1}^{0}\right)^{2} + \left( x_{2}^{0}\right)^{2} } < \epsilon$ Tutaj nie wiem o co chodzi, nie umiem udowodni膰 tego warunku. Nie wiem nawet czy to co dotychczas napisa艂am ma sens. Prosz臋 o pomoc |
tumor post贸w: 8070 | 2012-11-03 20:18:07 Ja bym spojrza艂 od drugiej strony. Wybierz sobie na p艂aszczy藕nie punkt $x^0=(x_1^0,x_2^0)$ i zastan贸w si臋, jak musi wygl膮da膰 ci膮g zbie偶ny do tego punktu. a) je艣li $(x_1^0,x_2^0)=(0,0)$, to $d(x^0,x^n)<\epsilon \iff \rho(x^0,x^n)<\epsilon$, czyli ka偶dy ci膮g zbie偶ny do (0,0) w sensie metryki euklidesowej jest zbie偶ny do (0,0) w sensie metryki w臋z艂a kolejowego. b) je艣li $(x_1^0,x_2^0)\neq(0,0)$, to przyjmijmy $0<\epsilon_0=\rho(x^0,0)$. Je艣li $x^1$ nie jest wsp贸艂liniowy z $x^0$ i $0$, to $d(x^1,x^0)\ge \rho(x^1,x^0)\ge \epsilon_0$. Czyli konieczne jest, 偶eby dla pewnego $n_0\in N$ i dla wszystkich $n\ge n_0$ punkty $x^n, x^0, 0$ by艂y wsp贸艂liniowe. Pocz膮tkowe wyrazy istotne nie s膮, ale od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ci膮gu musz膮 ju偶 by膰 na odpowiedniej prostej, czyli maj膮 posta膰 $x^n=\alpha^nx^0=(\alpha^nx_1^0, \alpha^nx_2^0)$, gdzie $\alpha^n\rightarrow 1$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj