logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza funkcjonalna, zadanie nr 591

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sympatia17
postów: 42
2012-11-03 15:19:27

Jakie ciągi są zbieżne w metryce węzła kolejowego:
$\left\{\begin{matrix} \rho\left( x,0\right) + \rho\left( y,0\right), & \text{gdy } x, \ y, \ 0 \text{ nie są współliniowe} \\ \rho\left( x,y\right) , & \text{gdy } x, \ y, \ 0 \text{ są współliniowe} \end{matrix}\right.$

Zaczęłam tak:

Przypadek 1, gdy $x_{n}, x_{0}, 0$ są współliniowe:
$d\left( x_{n}, x_{0}\right) = \sqrt {\left( x_{1}^{n} - x_{1}^{0}\right)^{2} + \left( x_{2}^{n} - x_{2}^{0}\right)^{2} } < \epsilon$
Tutaj oczywiste jest, że ciąg jest zbieżny do $x_{0}$ gdy jest zbieżny w metryce euklidesowej (tj. zbieżność po współrzędnych) oraz $x_{n}, x_{0}, 0$ leżą na jednej prostej.

Przypadek 2, gdy $x_{n}, x_{0}, 0$ nie są współliniowe:
$d\left( x_{n}, x_{0}\right) = \rho\left( x_{n}, 0\right) + \rho\left( x_{0}, 0\right) = \sqrt {\left( x_{1}^{n}\right)^{2} + \left( x_{2}^{n}\right)^{2} } + \sqrt { \left( x_{1}^{0}\right)^{2} + \left( x_{2}^{0}\right)^{2} } < \epsilon$
Tutaj nie wiem o co chodzi, nie umiem udowodnić tego warunku. Nie wiem nawet czy to co dotychczas napisałam ma sens.

Proszę o pomoc


tumor
postów: 8085
2012-11-03 20:18:07

Ja bym spojrzał od drugiej strony.

Wybierz sobie na płaszczyźnie punkt $x^0=(x_1^0,x_2^0)$ i zastanów się, jak musi wyglądać ciąg zbieżny do tego punktu.

a) jeśli $(x_1^0,x_2^0)=(0,0)$, to $d(x^0,x^n)<\epsilon \iff \rho(x^0,x^n)<\epsilon$, czyli każdy ciąg zbieżny do (0,0) w sensie metryki euklidesowej jest zbieżny do (0,0) w sensie metryki węzła kolejowego.

b) jeśli $(x_1^0,x_2^0)\neq(0,0)$, to przyjmijmy $0<\epsilon_0=\rho(x^0,0)$.
Jeśli $x^1$ nie jest współliniowy z $x^0$ i $0$, to $d(x^1,x^0)\ge \rho(x^1,x^0)\ge \epsilon_0$.
Czyli konieczne jest, żeby dla pewnego $n_0\in N$ i dla wszystkich $n\ge n_0$ punkty $x^n, x^0, 0$ były współliniowe. Początkowe wyrazy istotne nie są, ale od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu muszą już być na odpowiedniej prostej, czyli mają postać $x^n=\alpha^nx^0=(\alpha^nx_1^0, \alpha^nx_2^0)$, gdzie $\alpha^n\rightarrow 1$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 117 drukuj