Analiza funkcjonalna, zadanie nr 591
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
sympatia17 postów: 42 | 2012-11-03 15:19:27 Jakie ciągi są zbieżne w metryce węzła kolejowego: $\left\{\begin{matrix} \rho\left( x,0\right) + \rho\left( y,0\right), & \text{gdy } x, \ y, \ 0 \text{ nie są współliniowe} \\ \rho\left( x,y\right) , & \text{gdy } x, \ y, \ 0 \text{ są współliniowe} \end{matrix}\right.$ Zaczęłam tak: Przypadek 1, gdy $x_{n}, x_{0}, 0$ są współliniowe: $d\left( x_{n}, x_{0}\right) = \sqrt {\left( x_{1}^{n} - x_{1}^{0}\right)^{2} + \left( x_{2}^{n} - x_{2}^{0}\right)^{2} } < \epsilon$ Tutaj oczywiste jest, że ciąg jest zbieżny do $x_{0}$ gdy jest zbieżny w metryce euklidesowej (tj. zbieżność po współrzędnych) oraz $x_{n}, x_{0}, 0$ leżą na jednej prostej. Przypadek 2, gdy $x_{n}, x_{0}, 0$ nie są współliniowe: $d\left( x_{n}, x_{0}\right) = \rho\left( x_{n}, 0\right) + \rho\left( x_{0}, 0\right) = \sqrt {\left( x_{1}^{n}\right)^{2} + \left( x_{2}^{n}\right)^{2} } + \sqrt { \left( x_{1}^{0}\right)^{2} + \left( x_{2}^{0}\right)^{2} } < \epsilon$ Tutaj nie wiem o co chodzi, nie umiem udowodnić tego warunku. Nie wiem nawet czy to co dotychczas napisałam ma sens. Proszę o pomoc |
tumor postów: 8070 | 2012-11-03 20:18:07 Ja bym spojrzał od drugiej strony. Wybierz sobie na płaszczyźnie punkt $x^0=(x_1^0,x_2^0)$ i zastanów się, jak musi wyglądać ciąg zbieżny do tego punktu. a) jeśli $(x_1^0,x_2^0)=(0,0)$, to $d(x^0,x^n)<\epsilon \iff \rho(x^0,x^n)<\epsilon$, czyli każdy ciąg zbieżny do (0,0) w sensie metryki euklidesowej jest zbieżny do (0,0) w sensie metryki węzła kolejowego. b) jeśli $(x_1^0,x_2^0)\neq(0,0)$, to przyjmijmy $0<\epsilon_0=\rho(x^0,0)$. Jeśli $x^1$ nie jest współliniowy z $x^0$ i $0$, to $d(x^1,x^0)\ge \rho(x^1,x^0)\ge \epsilon_0$. Czyli konieczne jest, żeby dla pewnego $n_0\in N$ i dla wszystkich $n\ge n_0$ punkty $x^n, x^0, 0$ były współliniowe. Początkowe wyrazy istotne nie są, ale od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu muszą już być na odpowiedniej prostej, czyli mają postać $x^n=\alpha^nx^0=(\alpha^nx_1^0, \alpha^nx_2^0)$, gdzie $\alpha^n\rightarrow 1$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj