logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 594

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

frappuccino
postów: 16
2012-11-03 19:20:14

Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
$y = \frac{x}{x^{2}+1}$


tumor
postów: 8085
2012-11-03 19:57:32

1. Dziedzina $R$.

2. Punkty przecięcia z osiami
$(0,0)$

3. $f$ nieparzysta $f(-x)=-f(x)$, ciągła w dziedzinie

4. $\lim_{x \to \pm\infty}=0$

5. Obustronna asymptota pozioma $y=0$.

6. $f`(x)=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$
$f`(x)=0$ dla $x=1$, $x=-1$

dla $x<-1$ pochodna ujemna, $f$ malejąca
dla $-1<x<1$ pochodna dodatnia, $f$ rosnąca
dla $x>1$ pochodna ujemna, $f$ malejąca

w $x=-1$ minimum równe $-\frac{1}{2}$
w $x=1$ maksimum równe $\frac{1}{2}$

7. $f``(x)=\frac{-2x(x^2+1)^2-2(1-x^2)(x^2+1)2x}{(x^2+1)^4}=\frac{-2x(x^4+2x^2+1)-4x(1-x^4)}{(x^2+1)^4}=\frac{2x^5-4x^3-6x}{(x^2+1)^4}$

$f``(x)=0$
$2x^5-4x^3-6x=2x(x^4-2x^2-3)=2x(x^2+1)(x^2-3)=0$
$x<-\sqrt{3}$ funkcja wklęsła
$-\sqrt{3}<x<0$ funkcja wypukła
$0<x<\sqrt{3}$ funkcja wklęsła
$\sqrt{3}<x$ funkcja wypukła

Punkty przegięcia $x=0$, $x=\pm\sqrt{3}$

8. Zbiór wartości $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 10 drukuj