logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 595

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

Aneta
postów: 1255
2012-11-03 20:30:15

Granica ciągu:
$\lim_{n \to \infty}$=$\frac{\sqrt[3]{n^2}*(1-(-1)^{n})}{n+1}$=$\lim_{n \to \infty}$
$\frac{n^2}{n^2}*\frac{n^{\frac{1}{3}}*(1-(-1)^n)}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}$=
może mi ktoś wytłumaczyć ten przykład!!

Wiadomość była modyfikowana 2012-11-03 20:32:56 przez Aneta

tumor
postów: 8085
2012-11-03 21:11:15

Mianownik wziął się stąd:
$n+1=n^2(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}) $

Natomiast w liczniku powinniśmy mieć:
$\sqrt[3]{n^2}=n^{\frac{2}{3}}=n^2*n^{-\frac{4}{3}}$, zdecydowanie nie jest prawdą, że
$\sqrt[3]{n^2}=n^2*n^{\frac{1}{3}}$,


-----


Ja bym granicę liczył na przykład tak:

$\lim_{n \to \infty}\frac{n^{\frac{2}{3}}(1-(-1)^n)}{n+1}=\lim_{n \to \infty}\frac{n*n^{-\frac{1}{3}}(1-(-1)^n)}{n(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^{-\frac{1}{3}}(1-(-1)^n)}{1+\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{1}{3}}*\frac{(1-(-1)^n)}{1+\frac{1}{n}}$

$\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{1}{3}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}}=0$

Ciąg $\frac{(1-(-1)^n)}{1+\frac{1}{n}}$ jest ograniczony, bo mianownik jest większy od 1, a licznik wynosi naprzemiennie $2$ i $0$.

Granica iloczynu ciągu zbieżnego do $0$ i ciągu ograniczonego wynosi $0$.

Czyli
$\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{1}{3}}*\frac{(1-(-1)^n)}{1+\frac{1}{n}}=0$
----
Można też szybciej pokazać z tw. o trzech ciągach

$0\le\lim_{n \to \infty}\frac{n^{\frac{2}{3}}(1-(-1)^n)}{n+1}\le \lim_{n \to \infty}\frac{n^{\frac{2}{3}}*2}{n}=
\lim_{n \to \infty}2*n^{\frac{-1}{3}}=0$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 37 drukuj