Analiza matematyczna, zadanie nr 595
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
abcdefgh postów: 1255 | 2012-11-03 20:30:15 Granica ciągu: $\lim_{n \to \infty}$=$\frac{\sqrt[3]{n^2}*(1-(-1)^{n})}{n+1}$=$\lim_{n \to \infty}$ $\frac{n^2}{n^2}*\frac{n^{\frac{1}{3}}*(1-(-1)^n)}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}$= może mi ktoś wytłumaczyć ten przykład!! Wiadomość była modyfikowana 2012-11-03 20:32:56 przez abcdefgh |
tumor postów: 8070 | 2012-11-03 21:11:15 Mianownik wziął się stąd: $n+1=n^2(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}) $ Natomiast w liczniku powinniśmy mieć: $\sqrt[3]{n^2}=n^{\frac{2}{3}}=n^2*n^{-\frac{4}{3}}$, zdecydowanie nie jest prawdą, że $\sqrt[3]{n^2}=n^2*n^{\frac{1}{3}}$, ----- Ja bym granicę liczył na przykład tak: $\lim_{n \to \infty}\frac{n^{\frac{2}{3}}(1-(-1)^n)}{n+1}=\lim_{n \to \infty}\frac{n*n^{-\frac{1}{3}}(1-(-1)^n)}{n(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n \to \infty}\frac{n^{-\frac{1}{3}}(1-(-1)^n)}{1+\frac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{1}{3}}*\frac{(1-(-1)^n)}{1+\frac{1}{n}}$ $\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{1}{3}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}}=0$ Ciąg $\frac{(1-(-1)^n)}{1+\frac{1}{n}}$ jest ograniczony, bo mianownik jest większy od 1, a licznik wynosi naprzemiennie $2$ i $0$. Granica iloczynu ciągu zbieżnego do $0$ i ciągu ograniczonego wynosi $0$. Czyli $\lim_{n \to \infty}n^{-\frac{1}{3}}*\frac{(1-(-1)^n)}{1+\frac{1}{n}}=0$ ---- Można też szybciej pokazać z tw. o trzech ciągach $0\le\lim_{n \to \infty}\frac{n^{\frac{2}{3}}(1-(-1)^n)}{n+1}\le \lim_{n \to \infty}\frac{n^{\frac{2}{3}}*2}{n}= \lim_{n \to \infty}2*n^{\frac{-1}{3}}=0$ |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj