logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Inne, zadanie nr 5959

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

aniax
postów: 2
2019-01-24 14:44:28

Znajdź ekstremum maksymalne funkcji dwóch zmiennych:
f(Q,Z)=12xQ+18xZ-2Q^2-QZ-2Q^2

Obliczyłam już pochodne pierwszego rzędu:
f'Q=12x-4Q-Z
f'Z=18x-Q-4Z

ale mam problem aby znaleźć punkty stacjonarne dla których będę mogła liczyć dalej. Z góry
dziękuję za pomoc.

Wiadomość była modyfikowana 2019-01-24 14:47:09 przez aniax

chiacynt
postów: 204
2019-01-24 16:26:46

Nie ma pojęcia "ekstremum maksymalne".
Są pojęcia ekstremum lokalne i ekstremum globalne.

Najprawdopodobniej w zadaniu chodzi o określenia ekstremum lokalnego funkcji $ f $,bo nie podano żadnych dodatkowych ograniczeń.

Ostatni składnik funkcji $ f $, domyślam się, że powinien być postaci $ 2Z^2.$

Pochodne cząstkowe I rzędu funkcji $ f $ obliczone są poprawnie.

Znajdujemy współrzędne punktów stacjonarnych

$ f'_{|Q}(Q,Z) = 12- 4\cdot Q - Z = 0 \ \ (1) $

$ f'_{|Z}(Q,Z) = 18 - Q -4\cdot Z = 0 \ \ (2) $

Pierwsze równanie mnożymy na przykład przez $-4 $ i dodajemy do równania drugiego,

$ -48 +16Q +4Z = 0 $

$ 18 - Q - 4Z = 0 $

$ -30 + 15Q = 0 , \ \ Q^{*} = 2.$

Podstawiając $ Q^{*}= 2 $ na przykład do równania (2)

otrzymujemy

$ 18 - 2 - 4Z = 0, \ \ 16-4Z = 0, \ \ Z^{*}= 4.$

Otrzymaliśmy punkt $ S= (Q^{*}, Z^{*}) = (2, 4) $ jako kandydat na punkt stacjonarny (podejrzany o ekstremum lokalne funkcji $ f).$

Znajdujemy macierz drugiej różniczki.

W tym celu obliczamy wartości pochodnych cząstkowych II rzędu w punkcie $ S.$

$f^{"}_{|QQ}(Q,Z) = -4, \ \ f^{"}_{|QZ}(Q,Z)= f^{"}_{|ZQ}(Q,Z)=-1, \ \ f^{"}_{|ZZ}(Q,Z)= -4.$

$ D^2(S) = D^2(2,4) = \left[\begin{matrix}-4&-1\\-1&-4 \end{matrix} \right] $

Macierz drugiej różniczki jest ujemnie określona, bo

$ det[-4]< 0 $ i $ detD^2(S) = 16 -1 = 15>0$

Punkt $ S = (P^{*}, Q^{*}) = (2, 4) $ jest punktem stacjonarnym i występuje w nim maksimum lokalne funkcji $ f $ równe:

$ f_{max}= f(2, 4) = 12\cdot 2+ 18\cdot 4 -2\cdot 2^2 -2\cdot 4 - 2\cdot 4^2= 24 +72 -8 -8 -32 = 48.$

Wiadomość była modyfikowana 2019-01-24 16:37:02 przez chiacynt
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 19 drukuj