Inne, zadanie nr 5959

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
aniax postów: 2	2019-01-24 14:44:28 Znajdź ekstremum maksymalne funkcji dwóch zmiennych: f(Q,Z)=12xQ+18xZ-2Q^2-QZ-2Q^2 Obliczyłam już pochodne pierwszego rzędu: f'Q=12x-4Q-Z f'Z=18x-Q-4Z ale mam problem aby znaleźć punkty stacjonarne dla których będę mogła liczyć dalej. Z góry dziękuję za pomoc. Wiadomość była modyfikowana 2019-01-24 14:47:09 przez aniax

chiacynt postów: 749	2019-01-24 16:26:46 Nie ma pojęcia "ekstremum maksymalne". Są pojęcia ekstremum lokalne i ekstremum globalne. Najprawdopodobniej w zadaniu chodzi o określenia ekstremum lokalnego funkcji $ f $,bo nie podano żadnych dodatkowych ograniczeń. Ostatni składnik funkcji $ f $, domyślam się, że powinien być postaci $ 2Z^2.$ Pochodne cząstkowe I rzędu funkcji $ f $ obliczone są poprawnie. Znajdujemy współrzędne punktów stacjonarnych $ f'_{\|Q}(Q,Z) = 12- 4\cdot Q - Z = 0 \ \ (1) $ $ f'_{\|Z}(Q,Z) = 18 - Q -4\cdot Z = 0 \ \ (2) $ Pierwsze równanie mnożymy na przykład przez $-4 $ i dodajemy do równania drugiego, $ -48 +16Q +4Z = 0 $ $ 18 - Q - 4Z = 0 $ $ -30 + 15Q = 0 , \ \ Q^{} = 2.$ Podstawiając $ Q^{}= 2 $ na przykład do równania (2) otrzymujemy $ 18 - 2 - 4Z = 0, \ \ 16-4Z = 0, \ \ Z^{}= 4.$ Otrzymaliśmy punkt $ S= (Q^{}, Z^{}) = (2, 4) $ jako kandydat na punkt stacjonarny (podejrzany o ekstremum lokalne funkcji $ f).$ Znajdujemy macierz drugiej różniczki. W tym celu obliczamy wartości pochodnych cząstkowych II rzędu w punkcie $ S.$ $f^{"}_{\|QQ}(Q,Z) = -4, \ \ f^{"}_{\|QZ}(Q,Z)= f^{"}_{\|ZQ}(Q,Z)=-1, \ \ f^{"}_{\|ZZ}(Q,Z)= -4.$ $ D^2(S) = D^2(2,4) = \left[\begin{matrix}-4&-1\\-1&-4 \end{matrix} \right] $ Macierz drugiej różniczki jest ujemnie określona, bo $ det[-4]< 0 $ i $ detD^2(S) = 16 -1 = 15>0$ Punkt $ S = (P^{}, Q^{*}) = (2, 4) $ jest punktem stacjonarnym i występuje w nim maksimum lokalne funkcji $ f $ równe: $ f_{max}= f(2, 4) = 12\cdot 2+ 18\cdot 4 -2\cdot 2^2 -2\cdot 4 - 2\cdot 4^2= 24 +72 -8 -8 -32 = 48.$ Wiadomość była modyfikowana 2019-01-24 16:37:02 przez chiacynt

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj