logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 5974

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

kapec
postów: 1
2019-02-08 19:11:28

Cześć, jest ktoś w stanie pomóc z taką granicą?

$\lim_{x \to \infty}$$\sqrt{1+2+3+...+n+(n+1)}$-$\sqrt{1+2+3+...+n}$
Z góry dziękuję.

Wiadomość była modyfikowana 2019-02-08 19:17:03 przez kapec

chiacynt
postów: 191
2019-02-14 14:07:50

Zamieniamy sumy pod pierwiastkami na sumy ciągów arytmetycznych:

$ \sqrt{1+2+3+...+n+(n+1)}= \sqrt{\frac{1+n+1}{2}(n+1)}= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{n^2+3 n +2},$

$ \sqrt{1+2+3+...+n}= \sqrt{\frac{1+n}{2} n }= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{n^2+ n}.$

Stąd

$ \lim_{n\to\infty} (\sqrt{1+2+3+...+n+(n+1)}- \sqrt{1+2+3+...+n}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\lim_{n\to \infty}(\sqrt{n^2+3x+2}- \sqrt{n^2+n}).$

Z tożsamości:

$ a- b= \frac{a^2-b^2}{a+b}$

$ \lim_{n\to\infty} (\sqrt{1+2+3+...+n+(n+1)}- \sqrt{1+2+3+...+n}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+3n +2-n^2 -n}{\sqrt{n^2+3n+2}+\sqrt{n^2+n}}$

$ \lim_{n\to\infty}(\sqrt{1+2+3+...+n+(n+1)}- \sqrt{1+2+3+...+n}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\lim_{n\to \infty}\frac{n(2 +\frac{2}{n})}{n\sqrt{1 +\frac{3}{n}+\frac{2}{n}}- \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{2}{2}= \frac{1}{\sqrt{2}}.$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 32 drukuj