logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 598

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2012-11-04 19:16:07

Niech a,b$\in$G , gdzie G-grupa
1) pokazać,że rząd ($a^{-1}ba$)= rząd (b)
2) $(a^{-1})^{-1}$= a (sprawdzić czy równość zachodzi)

Wie ktoś jak to wykazać???


Aneta
postów: 1255
2012-11-04 19:47:09

rząd(1/a*b*a)=rządb
$(1/a)^{-1}=a$


mat12
postów: 221
2012-11-04 20:14:17

ok. to ja wiem,że $a^{-1}=\frac{1}{a}$. potrzebuje,żeby ktoś to wykazał rozpisując krok po kroku że te 2 warunki są prawdziwe, bardzo proszę


tumor
postów: 8085
2012-11-04 20:32:57

abcdefgh - zabawnie przepisujesz polecenie :P

--------------

1)
Oznaczmy sobie rząd elementu przez $o()$.

$o(b)=n$, wtedy $b^n=e$,
$(a^{-1}ba)^n=a^{-1}ba*a^{-1}ba*...*a^{-1}ba=a^{-1}b^na=a^{-1}a=e$

$o(a^{-1}ba)=m$, wtedy $(a^{-1}ba)^m=e$
$b^m=baa^{-1}baa^{-1}...baa^{-1}b=aa^{-1}baa^{-1}baa^{-1}...baa^{-1}baa^{-1}=a(a^{-1}ba)^ma^{-1}=aea^{-1}=aa^{-1}=e$

Rząd $a$, przypomnijmy, to najmniejsza liczba naturalna dodatnia $n$, że $a^n=e$, powyżej pokazaliśmy, że $b^n=e \iff (a^{-1}ba)^n=e$, czyli mają równy rząd.



tumor
postów: 8085
2012-11-04 20:38:58

2) $aa^{-1}=a^{-1}a=e$

Przyjmijmy $a^{-1}=b$.
$a^{-1}(a^{-1})^{-1}=bb^{-1}=b^{-1}b=e$

Czyli na pewno elementy $a$ i $(a^{-1})^{-1}$ są odwrotnościami tego samego elementu $a^{-1}$

Jeśli dowodziłeś już, że element odwrotny jest jeden, to po kłopocie. A jeśli nie dowodziłeś, to można rzecz załatwić tak:

$a=ae=abb^{-1}=aa^{-1}(a^{-1})^{-1}=e(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}$


mat12
postów: 221
2012-11-04 21:01:26

Dziękuję bardzo.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 9 drukuj