logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 599

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

mat12
postów: 221
2012-11-04 20:29:13

rząd elementu x jest równy 20. jak obliczyć rząd elementu $x^{6}$ ? (oczywiście x$\in$G gdzie G jest grupą).

x,y należą do centrum grupy G $\Rightarrow$ xy = yx (sprawdzić czy zachodzi implikacja)



tumor
postów: 8085
2012-11-04 20:46:28

Wprost z definicji rzędu grupy dostajemy, że dla $n=1,2,3,..,19 $ jest $x^n\neq e$.

$(x^6)^m=x^{6m}$

Liczba $6m$ oczywiście daje się zapisać jako $20a+b$, gdzie $0\le b<20$

$x^{6m}=x^{20a+b}=(x^{20})^ax^b=e^ax^b=x^b$

Rzędem elementu $x^6$ jest zatem najmniejsze takie $m$, że $b=0$, czyli $6m=20a$.
Innymi słowy $6m$ ma być liczbą podzielną przez $20$. Najmniejsze dodatnie naturalne $m$ o tej własności to $10$.




tumor
postów: 8085
2012-11-04 20:51:15

W definicji centrum wprost się mówi o przemienności.
$C(G)=\{x\in G: \forall_{y\in G}xy=yx\}$

Jeśli zatem $x,y\in C(G)$, to $x\in C(G)$ i $y\in G$, czyli $xy=yx$.

Nie ma tu czego dowodzić. Jeśli jednak masz inną definicję centrum, to musisz ją tu przytoczyć, żebyśmy się mogli na niej oprzeć.


mat12
postów: 221
2012-11-04 21:03:47

Dziękuje

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 26 drukuj