logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Matematyka dyskretna, zadanie nr 5990

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

maher
postów: 2
2019-03-10 15:20:57

Nietypowe zadanie:

Napisać historyjkę kombinatoryczną wykazującą równość:

$\sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = {2n+2\choose 3}$


chiacynt
postów: 210
2019-03-10 20:45:21

$\sum_{k=1}^{n}(2k)^2= {2n+2\choose 3} (1)$

Prawa równości.

Wybieramy$ 3$ liczby spośród $ 2n+2 $ liczb.

Istnieje $ {2n+2\choose 3} $ sposobów wyboru trzech liczb ze zbioru liczb $ \{1,2,3,...,2n+2 \}.$

Lewa strona równości.

Wybór trzech możemy przeprowadzić w inny sposób.

Wybieramy dwie liczby największe $ 2k+1,$ lub $ 2k+2.$

Jeżeli wybraliśmy liczbę $ 2k+1,$ to pozostałe dwie liczby wybieramy na $ {2k\choose 2} $ sposoby.

Jeśli zaś wybraliśmy liczbę $ 2k+2, $ to pozostałe dwie możemy wybrać na $ {2k+1\choose 2}$ sposoby.

Liczba wszystkich sposobów wyboru trzech liczb jest równa

$ \frac{(2k)(2k-1)}{2} + \frac{(2k+1)(2k)}{2} = (2k)^2.$

dla $ k = 1,2,...,n. $

Otrzymaliśmy więc sumę wszystkich możliwych sposobów wyboru trójki liczb:

$ 2^2 +4^2 + 6^2 + ...+ (2n)^2, $

co odpowiada lewej stronie równości.

W ten sposób udowodniliśmy równość $ (1).$

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 30 drukuj