Matematyka dyskretna, zadanie nr 5990
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
maher post贸w: 2 |  2019-03-10 15:20:57Nietypowe zadanie: Napisa膰 historyjk臋 kombinatoryczn膮 wykazuj膮c膮 r贸wno艣膰: $\sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = {2n+2\choose 3}$ |
chiacynt post贸w: 749 | 2019-03-10 20:45:21 $\sum_{k=1}^{n}(2k)^2= {2n+2\choose 3} (1)$ Prawa r贸wno艣ci. Wybieramy$ 3$ liczby spo艣r贸d $ 2n+2 $ liczb. Istnieje $ {2n+2\choose 3} $ sposob贸w wyboru trzech liczb ze zbioru liczb $ \{1,2,3,...,2n+2 \}.$ Lewa strona r贸wno艣ci. Wyb贸r trzech mo偶emy przeprowadzi膰 w inny spos贸b. Wybieramy dwie liczby najwi臋ksze $ 2k+1,$ lub $ 2k+2.$ Je偶eli wybrali艣my liczb臋 $ 2k+1,$ to pozosta艂e dwie liczby wybieramy na $ {2k\choose 2} $ sposoby. Je艣li za艣 wybrali艣my liczb臋 $ 2k+2, $ to pozosta艂e dwie mo偶emy wybra膰 na $ {2k+1\choose 2}$ sposoby. Liczba wszystkich sposob贸w wyboru trzech liczb jest r贸wna $ \frac{(2k)(2k-1)}{2} + \frac{(2k+1)(2k)}{2} = (2k)^2.$ dla $ k = 1,2,...,n. $ Otrzymali艣my wi臋c sum臋 wszystkich mo偶liwych sposob贸w wyboru tr贸jki liczb: $ 2^2 +4^2 + 6^2 + ...+ (2n)^2, $ co odpowiada lewej stronie r贸wno艣ci. W ten spos贸b udowodnili艣my r贸wno艣膰 $ (1).$ |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj