logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Analiza funkcjonalna, zadanie nr 600

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

sympatia17
postów: 42
2012-11-04 21:49:01

Dana jest metryka rzeka:
$d\left( x,y\right) = \begin{cases} \left| x_{2}-y_{2}\right|, & \text{gdy } x_{1}=y_{1} \\ \left| x_{2}\right| + \left| y_{2}\right| + \left| x_{1}-y_{1}\right|, & \text{gdy } x_{1} \neq y_{1} \end{cases}$
Jakie ciągi są zbieżne w tej metryce?
Proszę o pomoc.


tumor
postów: 8085
2012-11-04 22:20:34

Olaboga, przecież to zupełnie analogiczne do niedawnego zadania.

$g=(g_1,g_2)$ niech będzie potencjalną granicą.

Jeśli $g$ znajduje się nad rzeką, czyli $g_2=0$ i ustalimy sobie $\epsilon>0$, to jeśli $\rho(x,g)=\sqrt{(x_1-g_1)^2+(x_2)^2}<\frac{\epsilon}{2}$, to mamy
$|x_1-g_1|=\sqrt{(x_1-g_1)^2}<\sqrt{(x_1-g_1)^2+(x_2)^2}$
$|x_2-g_2|=|x_2|=\sqrt{(x_2)^2}<\sqrt{(x_1-g_1)^2+(x_2)^2}$
$|g_2|=0$

zatem $|x_2-g_2|<\epsilon$ oraz
$|x_1-g_1|+|g_2|+|x_2|<\epsilon$
Czyli ciąg zbieżny w euklidesowej do $(g_1, 0)$ jest też zbieżny w metryce rzeki.

I odwrotnie, ciąg zbieżny do $(g_1,0)$ w metryce rzeki musi mieć $x_1\rightarrow g_1$ i $x_2\rightarrow g_2$, czyli jest zbieżny w euklidesowej.

----

Natomiast jeśli $g_2\neq 0$. Wtedy ustalmy $0<\epsilon<|g_2|$
Wtedy oczywiście $|x_2|+|g_2|+|x_1-g_1|>\epsilon$, czyli zbieżne mogą być tylko ciągi wyrazów znajdujących się od pewnego miejsca na tej samej ścieżce nad rzekę (bo jeśli bierzemy równoległą ścieżkę, to wyrazy są już za daleko, powyżej $\epsilon$).

Natomiast na tej samej ścieżce rzeczywiście, jeśli $x_1=g_1$ oraz $x_2\rightarrow 0$, to $|x_2-g_2|\rightarrow 0$, czyli ciąg jest zbieżny w sensie metryki rzeki.

Czyli jeśli $g_2\neq 0$, to zbieżne do $g$ są tylko ciągi, w których od pewnego miejsca $x_1=g_1$.

-------------

Uwaga. Żeby się nie robił indeksowy bajzel (bo tu były i indeksy dolne i potęgi) napisałem tylko $(x_1, x_2)$, ale należy to rozumieć w sensie ciągu z podwójnymi indeksami, na przykład $x_n=(x_{n,1},x_{n,2})$.
Zbieżność zaś, jak poprzednio, wymusza tylko by warunki były spełnione począwszy od pewnego indeksu $n_0$, wcześniejsze wyrazy są obojętne.


sympatia17
postów: 42
2012-11-04 22:29:02

dziękuję bardzo za pomoc.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 12 drukuj