Inne, zadanie nr 602

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
easyrider85 postów: 48	2012-11-05 15:00:55 rozwiazac w zbiorze liczb zespolonych 1)z^3=i 2)\sqrt[3]{-1+i} 3)z^3=-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}

easyrider85 postów: 48	2012-11-05 15:01:39 w 2 ma byc pierwiastek 3 stopnia(nie wiem czemu tak wywaliło)

tumor postów: 8070	2012-11-05 15:20:23 Wywaliło bo nie umiesz. :P 1)$z^3=i$ $i=cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2}$ $\sqrt[3]{i}=cos(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3})+isin(\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{3})$ dla $k=0,1,2$ Co można zapisać $z=cos(\frac{\pi}{6})+isin(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ $z=cos(\frac{5\pi}{6})+isin(\frac{5\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ $z=cos(\frac{9\pi}{6})+isin(\frac{9\pi}{6})=-i$

tumor postów: 8070	2012-11-05 15:35:50 2) $\sqrt[3]{-1+i}$ $-1+i=\sqrt{2}(cos\frac{3\pi}{4}+isin\frac{3\pi}{4})$ $\sqrt[3]{-1+i}=\sqrt[3]{\sqrt{2}}(cos\frac{\frac{3\pi}{4}+2k\pi}{3}+isin\frac{\frac{3\pi}{4}+2k\pi}{3})$ dla $k=0,1,2$ $\sqrt[3]{-1+i}=\sqrt[6]{2}(cos\frac{3\pi}{12}+isin\frac{3\pi}{12})$ $\sqrt[3]{-1+i}=\sqrt[6]{2}(cos\frac{11\pi}{12}+isin\frac{11\pi}{12})$ $\sqrt[3]{-1+i}=\sqrt[6]{2}(cos\frac{19\pi}{12}+isin\frac{19\pi}{12})$ co się da zapisać w postaci algebraicznej, ale mi się nie chce podstawiać wartości funkcji trygonometrycznych (ale to jeszcze kąty "tabelkowe" czyli sensowne).

tumor postów: 8070	2012-11-05 15:44:08 3) $z^3=-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ $-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}=cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3}$ $\sqrt[3]{-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}}=cos\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi}{3}+isin\frac{\frac{4\pi}{3}+2k\pi}{3}$ dla $k=0,1,2$ $z=cos\frac{4\pi}{9}+isin\frac{4\pi}{9}$ $z=cos\frac{10\pi}{9}+isin\frac{10\pi}{9}$ $z=cos\frac{16\pi}{9}+isin\frac{16\pi}{9}$

easyrider85 postów: 48	2012-11-06 19:26:52 akurat to jest prawda że nie umiem xd Dziękuje bardzo.

easyrider85 postów: 48	2012-11-06 19:31:06 Jeszcze jak tutaj lookniesz bardzo prosił bym o wyjaśnienie skąd biorą się drugie i trzecie rozwiązanie "z" jaka wartość tam dodajesz?

tumor postów: 8070	2012-11-06 20:49:43 Popatrz na wyrażenie, przy którym piszę "dla $k=0,1,2$" Kolejne $z$ biorą się właśnie z kolejnych $k$. Ale można popatrzeć na to graficznie. Liczbę zespoloną można traktować jak wektor dwuwymiarowy o początku w (0,0). Natomiast pierwiastki liczby zespolonej tworzą kwiatek. :) Są równej długości i równo rozmieszczone, a płatków jest $n$ (czyli stopień pierwiastka). Jeśli zatem szukamy pierwiastków 3 stopnia, to wystarczy znaleźć jeden, a pozostałe różnią się o 120 i 240 stopni. Dla pierwiastków 6 stopnia wystarczy znaleźć jeden, a pozostałe różnią się od niego o 60, 120, 180, 240, 300 stopni. ;)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj