logowanie

matematyka » forum » studia » zadanie

Algebra, zadanie nr 6067

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

nindzia
postów: 12
2019-09-06 23:13:45

Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć jaka jest idea rozwiązywania układów kongruencji - czego się szuka, jak się rozwiązuje?
$\left\{\begin{matrix} 2x \equiv 42 (mod 10) \\ 4x \equiv 42 (mod 12) \\ 24x \equiv 42 (mod 14) \end{matrix}\right.$


chiacynt
postów: 249
2019-09-07 09:09:58

Rozwiązujemy każdą liniową kongruencję osobno, na przykład metodą którą przedstawiłem w poprzednim poście i wybieramy wspólną liczbę (liczby) tych trzech rozwiązań.


nindzia
postów: 12
2019-09-07 15:41:57

Popraw mnie proszę, jeśli się gdzieś pomyliłem:

$\left\{\begin{matrix} 3x \equiv 42 (mod 11) \\ 5x \equiv 42 (mod 12) \\ 8x \equiv 18 (mod 30) \end{matrix}\right.$

Czyli:
3x $\equiv$ 42 (mod 11), czyli x = 3, bo 3 * 3 - 42 | 11,
5x $\equiv$ 42 (mod 12), czyli x = 6, bo 5 * 6 - 6 | 12,
8x $\equiv$ 18 (mod 30), czyli x = 6, bo 8 * 6 - 18 | 30,

Jak dalej to ruszyć? Bo to jeszcze nie jest koniec zadania


chiacynt
postów: 249
2019-09-08 10:07:46

Proponuję najpierw uprościć powyższe kongruencje liniowe układu.

W tym celu korzystamy z twierdzenia:

Jeżeli $ NWD(a, m) = d $ i $ d\mid b $, to kongruencja $ ax \equiv b (mod\ \ m) $ jest równoważna z kongruencją $ \frac{a}{d}x \equiv \frac{b}{d}\left( mod \frac{m}{d} \right).$

$ NWD(2,10) = 2 $

$ x \equiv 21 (mod\ \ 5)\ \ (1) $


$ NWD(4,12) = 4 $

$ x \equiv 13 (mod\ \ 3)\ \ (2) $

$ NWD(24, 14) = 2 $

$ 12x \equiv 21 (mod\ \ 2)\ \ (3) $

Rozwiązujemy kongruencję $ (3) $ względem $x $

Stosujemy Chińskie Twierdzenie o Resztach lub metodę podstawiania - znajdujemy kongruencję będącą rozwiązaniem układu kongruencji $ (1), (2), (3).$



strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 9 drukuj