logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 6148

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

celka
postów: 2
2020-02-06 16:34:55

Witam,
dostałam do wykonania zadanie o treści
"W którym z następujących punktów (3/2;6) lub (1;8) funkcja f(x,y)=xy ma ekstremum warunkowe przy warunku 4x+y=12?"
Próbowałam rozwiązać:
f(x,12-4x)=g(x)
g(x)=12x-4x^{2}
g'(x)=12-8x
g'(x)=0 <=> x=1,5
g''(x)=-8
Czy mógłby mi ktoś powiedzieć, czy takie rozwiązanie zadania jest poprawne i odpowiedzią na zadanie będzie punkt (3/2;6)?


chiacynt
postów: 330
2020-02-06 19:50:55

Zadanie rozwiązujemy metodą mnożników Lagrange'a

Funkcja Lagrange'a

$ L(x,y, \lambda) = x\cdot y + \lambda(4x+y -12) $

$L'_{|x}(x,y,\lambda) = y + 4\lambda $

$L'_{|y}(x,y,\lambda) = x + \lambda $

$L'_{|\lambda}(x,y,\lambda) = 4x + y -12 $



$ \begin{cases} y + 4\lambda =0 \\ x + \lambda =0 \\4x + y -12 =0 \end{cases} $

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy jedyny punkt podejrzany o ekstremum warunkowe:

$ (x^{*}, y^{*}) = \left(\frac{3}{2}, 6 \right) $

Sprawdzamy czy w punkcie tym występuje ekstremum warunkowe

Macierz drugiej różniczki

$ D^2(x^{*},y^{*}) = \left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right] $

Badamy określoność macierzy drugiej różniczki $ D $

$ \left[\begin{matrix} h_{x} & h_{y}\end{matrix} \right]\cdot\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix} h_{x} \\ h_{y}\end{matrix} \right] = h_{y}\cdot h_{x}+ h_{x}\cdot h_{y}=2 h_{x}\cdot h_{y} $

$ 2h_{x}\cdot h_{y}= \begin{cases} < 0 \\ > 0 \end{cases}$

Macierz drugiej różniczki w punkcie $\left( \frac{3}{2}, 6\right) $ nie jest ani dodatnio ani ujemnie określona, więc funkcja nie ma w tym punkcie minimum warunkowego.


celka
postów: 2
2020-02-06 21:33:55

Chiacynt,
Dziękuję za odpowiedź i wytłumaczenie. :)

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 104 drukuj