Analiza matematyczna, zadanie nr 6148
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
celka postów: 2 | 2020-02-06 16:34:55 Witam, dostałam do wykonania zadanie o treści "W którym z następujących punktów (3/2;6) lub (1;8) funkcja f(x,y)=xy ma ekstremum warunkowe przy warunku 4x+y=12?" Próbowałam rozwiązać: f(x,12-4x)=g(x) g(x)=12x-4x^{2} g'(x)=12-8x g'(x)=0 <=> x=1,5 g''(x)=-8 Czy mógłby mi ktoś powiedzieć, czy takie rozwiązanie zadania jest poprawne i odpowiedzią na zadanie będzie punkt (3/2;6)? |
chiacynt postów: 749 | 2020-02-06 19:50:55 Zadanie rozwiązujemy metodą mnożników Lagrange'a Funkcja Lagrange'a $ L(x,y, \lambda) = x\cdot y + \lambda(4x+y -12) $ $L'_{|x}(x,y,\lambda) = y + 4\lambda $ $L'_{|y}(x,y,\lambda) = x + \lambda $ $L'_{|\lambda}(x,y,\lambda) = 4x + y -12 $ $ \begin{cases} y + 4\lambda =0 \\ x + \lambda =0 \\4x + y -12 =0 \end{cases} $ Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy jedyny punkt podejrzany o ekstremum warunkowe: $ (x^{*}, y^{*}) = \left(\frac{3}{2}, 6 \right) $ Sprawdzamy czy w punkcie tym występuje ekstremum warunkowe Macierz drugiej różniczki $ D^2(x^{*},y^{*}) = \left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right] $ Badamy określoność macierzy drugiej różniczki $ D $ $ \left[\begin{matrix} h_{x} & h_{y}\end{matrix} \right]\cdot\left[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix} h_{x} \\ h_{y}\end{matrix} \right] = h_{y}\cdot h_{x}+ h_{x}\cdot h_{y}=2 h_{x}\cdot h_{y} $ $ 2h_{x}\cdot h_{y}= \begin{cases} < 0 \\ > 0 \end{cases}$ Macierz drugiej różniczki w punkcie $\left( \frac{3}{2}, 6\right) $ nie jest ani dodatnio ani ujemnie określona, więc funkcja nie ma w tym punkcie minimum warunkowego. |
celka postów: 2 | 2020-02-06 21:33:55 Chiacynt, Dziękuję za odpowiedź i wytłumaczenie. :) |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj