logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Analiza matematyczna, zadanie nr 6171

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

alexstat
postów: 1
2020-03-27 21:12:13

Rozwinąć w szereg zespolony Fouriera funkcje okresowe (o okresie T)

{0 dla |t|=T/2
f(t) = {sgnt dla |t|<T/2


Wyznaczyć widmo amplitudowe i fazowe.

Może ktoś pomoże?


chiacynt
postów: 749
2020-04-16 12:31:22

$ f(t) = \begin{cases} 0 \ \ \mbox{dla} \ \ |t|\geq \frac{T}{2} \\ sign (t) \ \ \mbox{dla} \ \ |t|< \frac{T}{2}. \end{cases} $

Zespolony szereg Fouriera

$ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}e^{j 2\pi n t}$

$c_{n} =\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}1\cdot e^{-j 2n \pi/T} =\frac{1}{T}\left[\frac{e^{-j2n \pi t/T}}{-j 2n\pi/T}\right]_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}=\frac{-1}{2n\pi j} \left(e^{-jn\pi} - e^{j n \pi}\right)= \frac{1}{n\pi}\left(\frac{e^{j n\pi} - e^{-jn\pi}}{2j}\right) = \frac{1}{n\pi}\sin(n\pi)= sinc(n\pi) $

Stąd wynika, że szereg Fouriera dla sygnału "skoku" funkcji Heaviside'a H ma postać

$ f(t)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi)e^{j 2\pi n t/T}$

$ c_{0} = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} 1dt = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}= 1$

Widmo amplitudowe sygnału $ H $


$X(\omega) = 1\cdot\frac{T}{2} \left |Sinc\left(\frac{\omega T}{2}\right)\right|. $

Widmo fazowe

$ \phi(\omega) =-arctg(\omega).$


Wiadomość była modyfikowana 2020-04-16 12:32:04 przez chiacynt
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj