Algebra, zadanie nr 6190
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
olikacz post贸w: 23 |  2020-04-18 11:13:32Udowodnij, 偶e zbi贸r Aut(G) wszystkich automorfizm贸w grupy G jest grup膮 ze sk艂adaniem. |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-04-18 13:24:46 Niech $ G $ b臋dzie grup膮. Definicja automorfizmu grupy: $ Aut(G) = \{ f: G \rightarrow G | f \ \ jest \ \ izomorfizmem\} $ Przyjmuj膮c, 偶e funkcje $ f, g \in Aut(G), $ rozpatrujemy z艂o偶enie funkcji$ \"\circ\" $ jako dzia艂anie grupowe. Prosz臋 sprawdzi膰, czy para $ (Aut(G) \circ)jest grup膮- $ spe艂nia wszystkie aksjomaty grupy. Po pierwsze czy $ g\circ f \in Aut(G)? $ Po drugie -艂膮czno艣膰 dzia艂ania $\"\circ\" $ Po trzecie - istnienie elementu neutralnego dzia艂ania $\"\circ\"$ Po czwarte -istnienie elementu $f^{-1}.$ Po pi膮te, czy dzia艂anie $ \"\circ\" $ jest przemienne tzn. czy mamy w tym przypadku grup臋 abelow膮? |
olikacz post贸w: 23 | 2020-04-18 16:21:08 @chiacynt Mo偶esz rzuci膰 okiem czy zrobi艂am to dobrze? Niech G b臋dzie grup膮. Zgodnie z definicj膮: Aut(g)={$f:G\rightarrow G|f $jest izomorfizmem G} Bior膮c dwa automorfizmy $f,g\in Aut(G)$ mo偶emy rozpatrywa膰 z艂o偶enie $ g\circ f$. Sprawdzamy czy $ (Aut(G),\circ) $ jest grup膮 rozpatruj膮c wszystkie aksjomaty. Musimy wykaza膰, 偶e $ g\circ f$ jest automorfizmem, tj. homomorfizmem, kt贸ry jest bijektywny. $ (g\circ f)(ab)=g(f(ab))=g(f(a)f(b))=(g(f(a))g(f(b))=(g\circ f)(a)(g\circ f)(b) $ dla wszystkich $ a,b\in G.$ St膮d $ g\circ f $ jest grup膮 homomorficzn膮. Po drugie musimy pokaza膰, 偶e dzia艂anie $ \circ $ jest 艂膮czne, tj. $ (h\circ g)\circ f= h\circ (g\circ f) $. $ (h\circ g)\circ f(a)= h(g\circ f(a))=h(g(f(a))=h\circ g(f(a))=h\circ (g\circ f)(a) $ dla wszystkich $ a\in G $. Sprawdzamy czy istnieje element neutralny dla $ \circ $. $ Id_{G} :G\rightarrow G: a\rightarrow a $ jest automorfizmem. Skoro $ f\circ Id_{G} = Id_{G} \circ f $ dla wszystkich Aut(G), $ Id_{G} $ jest elementem neutralnym. |
olikacz post贸w: 23 | 2020-04-18 16:25:09 Po czwarte sprawdzamy, czy ka偶dy $ f\in Aut(G) $ ma odwrotno艣膰 dla $ \circ $. Wyra藕nie $ f^{-1} \circ f= Id_{G} =f\circ f^{-1} $ |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-04-18 16:51:42 Wszystko poprawnie, brakuje w czwartym punkcie sprawdzenia, 偶e $ f^{-1} $ jest grupowym morfizmem: $ f^{-1}(xy)= f^{-1}(f(x) f(y)) = f^{-1}(f(xy)) = xy$ St膮d $ f^{-1}(xy) = f^{-1}(x)f^{-1}(y).$ |
olikacz post贸w: 23 | 2020-04-18 16:55:41 Dzi臋kuj臋 bardzo :) |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj