Rachunek różniczkowy i całkowy, zadanie nr 6211
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / RozwiÄ…zanie |
aneta30 postów: 22 |  2020-04-25 13:54:42Potrzebuje pomocy Wyznaczyć całkę ogólną/szczególną równania początkowego : y\'\' - 2y\' + 2y = 0, y(0) = 1, y\'(0) = 0 |
chiacynt postów: 749 | 2020-05-02 10:56:29 $ y^{\"} -2y^{\'}+2y = 0 $ $ y(0)= 1, \ \ y\'(0)= 0.$ Równanie charakterystyczne $ r^2 + 2r + 2 = 0 $ ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone $ r_{1} = -1 - i, \ \ r_{2} = -1 + i. $ Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego $ y = e^{-x}[C_{1}\cos(x) + C_{2}\sin(x)] \ \ (1) $ W celu znalezienia rozwiązania szczególnego obliczamy pochodną pierwszego rzędu $ y^{\'} = -e^{-x}[C_{1}\cos(x)+ C_{2}\sin(x)] + e^{-x}[-C_{1}\sin(x) + C_{2}\cos(x)] = e^{-x}[(C_{2}- C_{1})\cos(x) - (C_{2}- C_{1})\sin(x)] \ \ (2) $ Podstawiamy warunki początkowe kolejno do $ (1), (2) $ $ e^{0}[C_{1}\cos(0) + C_{2}\sin(0)] = 1 $ $ e^{0}[ C_{2}- C_{1})\cos(0) - (C_{2}-C_{1})\sin(0)]= 0 $ $ C_{1}= 1,$ $ C_{2}- C_{1} = 0 $ $ C_{1} = C_{2} = 1. $ Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego jednorodnego $ y_{s} = e^{-x}[\cos(x) + \sin(x)] $ |
chiacynt postów: 749 | 2020-05-02 11:17:47 Sprawdzenie otrzymanego rozwiązania $ y = e^{-x}[\cos(x) +\sin(x)]$ Obliczamy pochodne pierwszego i drugiego rzędu $ y^{\'}= -e^{-x}[\cos(x) + \sin(x)] + e^{-x}[-\sin(x)+\cos(x)]= -e^{-x}\cos(x) -e^{-x}\sin(x)-e^{-x}\sin(x)+e^{-x}\cos(x)= -2e^{-x}\sin(x)$ $ y^{\"}= 2e^{-x}\sin(x)-2e^{-x}\cos(x). $ Podstawiamy do równania $ y^{\"}, y^{\'}, y $ $2e^{-x}\sin(x) -2e^{-x}\cos(x)-4e^{-x}\sin(x)+2e^{-x}\cos(x)+2e^{-x}\sin(x) = 0, $ co mieliśmy sprawdzić. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj