logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Statystyka, zadanie nr 6231

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

weronika
postów: 26
2020-05-04 12:27:59

Populacja generalna ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną równą m i odchyleniem standar-
dowym równym sigma . Jak liczną próbę należy wylosować z tej populacji, aby prawdopodobieństwo, że
średnia arytmetyczna obliczona na podstawie tej próby będzie różniła się od wartości oczekiwanej o
więcej niż jedno odchylenie standardowe, było co najwyżej równe 0,05?


chiacynt
postów: 749
2020-05-04 17:06:47


$ X_{i} \sim \mathcal{N}(m, \sigma), \ \ i= 1,2,...,n $

$ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} \sim \mathcal{N}\left(m, \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$


Obliczyć $ n $ dla którego:

$Pr \left (\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} - m\right|> \sigma\right)\leq 0,05 $

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

$Pr \left(\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} - m\right|\leq \sigma\right) >1 -0,05 > 0,95 $

Standaryzacja

$ \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$

$ Pr(\left(\left|\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-m)}{\sigma} \right|\leq \sigma \right) = 0,95 $

$ Pr\left(\overline{X} - \frac{\sigma^2}{\sqrt{n}}\leq m \leq \overline{X} + \frac{\sigma^2}{\sqrt{n}}\right) > 1-0,05$

Kwantyl standaryzowanego rozkładu normalnego

$ z_{1- \frac{0,05}{2}} = z_{0,975}$

Program R

> qnorm(0.975)
[1] 1.959964

Zbudowaliśmy przedział ufności o zadanej z góry długości $ 2 \sigma $, jeśli mamy możliwość wyboru próbki o liczności spełniającej nierówność

$ 2\frac{\sigma^2}{\sqrt{n}} \leq 2\sigma $

Stąd

$ n \geq \sigma^2. $

Przyjmując dokładność $ \sigma = z_{1-\frac{\alpha}{2}} = 1,96 $

otrzymujemy


$ n \geq z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}$

$ n \geq 1,96^2 \approx 4. $



Wiadomość była modyfikowana 2020-05-04 17:08:26 przez chiacynt
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj