Geometria, zadanie nr 6244
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
weronika post贸w: 26 |  2020-05-08 15:36:37Wykaza膰, 偶e 艣rodek ci臋偶ko艣ci tr贸jk膮ta jest niezmiennikiem powinowactw osiowych. |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-05-08 21:24:13 Umieszczamy na przyk艂ad tr贸jk膮t prostok膮tny w pierwsze 膰wiartce prostok膮tnego uk艂adu wsp贸艂rz臋dnych $ 0yz$ (rysunek) Obliczamy wsp贸艂rz臋dne jego 艣rodka ci臋偶ko艣ci. Przekszta艂camy tr贸jk膮t przez powinowactwo osiowe na wzgl臋m osi $Oy $ i $ Oz $ Obliczamy 艣rodek ci臋偶ko艣ci tr贸jk膮ta przekszta艂conego. Stwierdzamy, 偶e wsp贸艂rz臋dne 艣rodka ci臋偶ko艣ci tego tr贸jk膮ta nie zmieni艂y si臋. Pole tr贸jk膮ta $ |P| = \frac{b\cdot h}{2}.$ Wyznaczamy momenty statyczne $ S_{y}, S_{z}$ odpowiednio wzgl臋dem osi $ Oy, Oz$ Z podobie艅stwa tr贸jk膮t贸w wynika proporcja $ \frac{b}{h} = \frac{y}{h-z} $ St膮d $ y = \frac{b}{h}(h-z) \rightarrow z = \frac{h}{b}(b-y)$ $ S_{y}=\int_{(P)} z dP =\int_{0}^{h}\int_{0}^{\frac{b}{h}(h-z)} z dy dz = \int_{0}^{h} y|_{0}^{\frac{b}{h}(h-z)} z dz= \frac{b}{h}\int_{0}^{h}(h-z)z dz =\frac{b}{h}\left(h\frac{z^2}{2} -\frac{z^3}{3}\right)_{0}^{h}= \frac{b h^2}{6}$ $ S_{z}= \int_{(P)} y dP = \int_{0}^{b}\int_{0}^{\frac{h}{b}(b-y)}y dydz = \int_{0}^{b} z|_{0}^{\frac{h}{b}(b-y)} y dy= \frac{h}{b}\int_{0}^{b}(b-y)y dy =\frac{h}{b}\left(b\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right)_{0}^{b}= \frac{b^2 h}{6}$ Wyznaczamy wsp贸艂rz臋dne 艣rodka ci臋偶ko艣ci $ y_{s}=\frac{S_{z}}{|P|} = \frac{\frac{b^2\cdot h}{6}}{\frac{b\cdot h}{2}}= \frac{b}{3} $ $ z_{s}=\frac{S_{y}}{|P|} = \frac{\frac{b\cdot h^2}{6}}{\frac{b\cdot h}{2}}= \frac{h}{3} $ Tr贸jk膮t przekszta艂camy przez powinowactwo prostok膮tne wzgl臋dem osi $ 0y$ i $ Oz. $ Co to jest powinowactwo prostok膮tne? Powinowactwo prostok膮tne o osi $ Oy $ i stosunku $ k > 0$ nazywamy przekszta艂cenie p艂aszczyzny $ P^{k}_{Y}(A) = A\' \leftrightarrow y\' = y,\ \ z\' = kz $ Powinowactwo prostok膮tne o osi $ Oz $ i stosunku $ k > 0$ nazywamy przekszta艂cenie p艂aszczyzny $ P^{k}_{Z}(B) = B\' \leftrightarrow y\' = ky, \ \ z\' = z $ Tr贸jk膮t o bokach $ b, h, $ kt贸ry zosta艂 przekszta艂cony przez powinowactwo prostok膮tne o osi $ Oz $ ma boki d艂ugo艣ci $ k\cdot b, h $ Tr贸jk膮t o bokach $ b, h, $ kt贸ry zosta艂 przekszta艂cony przez powinowactwo prostok膮tne o osi $ Oy $ ma boki d艂ugo艣ci $ b, k\cdot h, $ St膮d wynika, 偶e tr贸jk膮t prostok膮tny, kt贸ry jest obrazem tr贸jk膮ta prostok膮tnego o bokach d艂ugo艣ci $ b, h $ w powinowactwie prostok膮tnym o osi $ 0y $ i osi $ Oz $ ma boki d艂ugo艣ci odpowiednio $ k\cdot h, k\cdot b, $ Zatem wsp贸艂rz臋dne jego 艣rodka ci臋偶ko艣ci wynosz膮: $y\'_{s}= \frac{S\'_{z}}{|P\'|} = \frac{\frac{b^2\cdot k\cdot k\cdot h}{6}}{\frac{k\cdot b \cdot k\cdot h}{2}}= \frac{b}{3} = y_{s}$ $ z\'_{s}=\frac{S\'_{y}}{|P\'|} = \frac{\frac{k\cdot b\cdot k\cdot h^2}{6}}{\frac{k\cdot b\cdot k\cdot h}{2}}= \frac{h}{3} = z_{s}. $ Wykazali艣my, 偶e wsp贸艂rz臋dne 艣rodka ci臋偶ko艣ci tr贸jk膮ta przekszta艂conego w powinowactwie prostok膮tnym o osiach $ Oy, Oz $ nie zmieni艂y. Co mieli艣my wykaza膰. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj