logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Geometria, zadanie nr 6244

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

weronika
postów: 26
2020-05-08 15:36:37

Wykazać, że środek ciężkości trójkąta jest niezmiennikiem powinowactw osiowych.


chiacynt
postów: 749
2020-05-08 21:24:13

Umieszczamy na przykład trójkąt prostokątny w pierwsze ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych $ 0yz$ (rysunek)

Obliczamy współrzędne jego środka ciężkości.

Przekształcamy trójkąt przez powinowactwo osiowe na wzglęm osi $Oy $ i $ Oz $

Obliczamy środek ciężkości trójkąta przekształconego.

Stwierdzamy, że współrzędne środka ciężkości tego trójkąta nie zmieniły się.

Pole trójkąta

$ |P| = \frac{b\cdot h}{2}.$

Wyznaczamy momenty statyczne $ S_{y}, S_{z}$ odpowiednio względem osi $ Oy, Oz$

Z podobieństwa trójkątów wynika proporcja

$ \frac{b}{h} = \frac{y}{h-z} $

Stąd

$ y = \frac{b}{h}(h-z) \rightarrow z = \frac{h}{b}(b-y)$

$ S_{y}=\int_{(P)} z dP =\int_{0}^{h}\int_{0}^{\frac{b}{h}(h-z)} z dy dz = \int_{0}^{h} y|_{0}^{\frac{b}{h}(h-z)} z dz= \frac{b}{h}\int_{0}^{h}(h-z)z dz =\frac{b}{h}\left(h\frac{z^2}{2} -\frac{z^3}{3}\right)_{0}^{h}= \frac{b h^2}{6}$

$ S_{z}= \int_{(P)} y dP = \int_{0}^{b}\int_{0}^{\frac{h}{b}(b-y)}y dydz = \int_{0}^{b} z|_{0}^{\frac{h}{b}(b-y)} y dy= \frac{h}{b}\int_{0}^{b}(b-y)y dy =\frac{h}{b}\left(b\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right)_{0}^{b}= \frac{b^2 h}{6}$

Wyznaczamy współrzędne środka ciężkości

$ y_{s}=\frac{S_{z}}{|P|} = \frac{\frac{b^2\cdot h}{6}}{\frac{b\cdot h}{2}}= \frac{b}{3} $

$ z_{s}=\frac{S_{y}}{|P|} = \frac{\frac{b\cdot h^2}{6}}{\frac{b\cdot h}{2}}= \frac{h}{3} $

Trójkąt przekształcamy przez powinowactwo prostokątne względem osi $ 0y$ i $ Oz. $

Co to jest powinowactwo prostokątne?

Powinowactwo prostokątne o osi $ Oy $ i stosunku $ k > 0$ nazywamy przekształcenie płaszczyzny

$ P^{k}_{Y}(A) = A' \leftrightarrow y' = y,\ \ z' = kz $

Powinowactwo prostokątne o osi $ Oz $ i stosunku $ k > 0$ nazywamy przekształcenie płaszczyzny

$ P^{k}_{Z}(B) = B' \leftrightarrow y' = ky, \ \ z' = z $

Trójkąt o bokach $ b, h, $ który został przekształcony przez powinowactwo prostokątne o osi $ Oz $ ma boki długości $ k\cdot b, h $

Trójkąt o bokach $ b, h, $ który został przekształcony przez powinowactwo prostokątne o osi $ Oy $ ma boki długości $ b, k\cdot h, $

Stąd wynika, że trójkąt prostokątny, który jest obrazem trójkąta prostokątnego o bokach długości $ b, h $ w powinowactwie prostokątnym o osi $ 0y $ i osi $ Oz $ ma boki długości odpowiednio $ k\cdot h, k\cdot b, $

Zatem współrzędne jego środka ciężkości wynoszą:

$y'_{s}= \frac{S'_{z}}{|P'|} = \frac{\frac{b^2\cdot k\cdot k\cdot h}{6}}{\frac{k\cdot b \cdot k\cdot h}{2}}= \frac{b}{3} = y_{s}$


$ z'_{s}=\frac{S'_{y}}{|P'|} = \frac{\frac{k\cdot b\cdot k\cdot h^2}{6}}{\frac{k\cdot b\cdot k\cdot h}{2}}= \frac{h}{3} = z_{s}. $

Wykazaliśmy, że współrzędne środka ciężkości trójkąta przekształconego w powinowactwie prostokątnym o osiach $ Oy, Oz $ nie zmieniły.

Co mieliśmy wykazać.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj