logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Probabilistyka, zadanie nr 6262

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

jelonek
postów: 3
2020-05-13 12:22:50

Bardzo proszę o pomoc w tych dwóch zadaniach :)

1. Niech $(\Omega,F, Pr)$ bedzie przestrzenia probabilistyczna oraz $S_n, n = 1, 2, ..., S$ beda zmiennymi losowymi o wartosciach rzeczywistych. Pokaz, ze jezeli $S_n \rightarrow S$ wg. prawdopodobieństwa a h jest funkcja ciagła na $\mathbb{R}$, to $h(S_n)\rightarrow h(S)$ wg prawdopodobieństwa.

2. Niech $(\Omega,F, Pr)$ bedzie przestrzenia probabilistyczna oraz niech $X_1,X_2, . . . ,X_n . . .$ beda niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie. Załózmy, ze istnieje funkcja borelowska $a : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ taka, ze $E(a(X))$ staje sie pewna znana funkcja odwracalna h parametru $\theta$, tzn. $E(a(X_1)) = h(\theta)$. Pokaz, ze zmienna losowa $\hat{\theta} = h^{-1}( \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a(X_k))$ jest wg. prawdopodobienstwa zbiezna do stałej $\theta= h^{-1}\{E(a(X_1))\}$.

Wiadomość była modyfikowana 2020-05-13 13:16:15 przez jelonek

chiacynt
postów: 749
2020-05-13 12:51:50

Proszę o czytelny zapis treści zadań w edytorze Latex.


chiacynt
postów: 749
2020-05-13 16:01:06

Zadanie 1

Zgodnie z definicją zbieżności według prawdopodobieństwa, mamy pokazać, że

$ Pr(|h(S_{n}) -h(S)|> \epsilon) = 0 $

Wybieramy dla $ m >1 $ i przedział $ [-(m+1), m+1] $

który jest zbiorem spójnym. Funkcja $ h $ - z założenia ciągła, jest na tym zbiorze jednostajnie ciągła.

Z definicji jednostajnej ciągłości funkcji $ h $ (ciągłości według Cauchy) istnieje takie $ \delta, \varepsilon)$, że dla

$ |x-y|< \delta \rightarrow |h(x) - h(y)|< \varepsilon $

Załóżmy, że

$ |h(x) - h(y)|>\varepsilon.

$ Jeśli $ |x-y|< \delta $ i $ |x|<m $ to $ x,y \in [-(m+1), m+1], $ co przeczy, że

$ |h(x)-h(y)|>\varepsilon $

Z zasady kontrapozycji wynika implikacja $ |h(x) - h(y|>\varepsilon \rightarrow |x-y |> \delta $ lub $ |x|>m $

Mamy więc

$ Pr(|h(S_{n}) - h(S)|> \varepsilon) \leq Pr((|h(S_{n}) -h(S)| < \delta \cup (|S|>m)) \leq Pr(|h(S_{n})-h(S)|< \delta) + Pr(|S|>m). $

Stąd wynika, że jeśli $ S_{n}\rightarrow S$ według prawdopodobieństwa to

$\lim_{n\to \infty} \sup Pr(|h(S_{n}) - h(S)|> \varepsilon) \leq \lim_{n\to \infty}\sup Pr(|h(S_{n})-h(S)|< \delta) + Pr(|S|>m) = Pr(|S|>m) $

Ponieważ $ m $ jest z góry ustaloną liczbą, więc


$\lim_{n\to \infty}\sup Pr(|h(S_{n})-h(S)|>\varepsilon) \leq \lim_{m\to \infty} Pr(|S|> m) = 0 $

Co dowodzi zbieżności według prawdopodobieństwa funkcji $h $ zmiennych losowych.

c.b.d.o.

Reasumując dowód twierdzenia jest oparty na jednostajnej ciągłości funkcji ciągłej na kompakcie i na zasadzie kontrapozycji.


Wiadomość była modyfikowana 2020-05-13 16:35:18 przez chiacynt
strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj