Probabilistyka, zadanie nr 6262
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
jelonek post贸w: 3 |  2020-05-13 12:22:50Bardzo prosz臋 o pomoc w tych dw贸ch zadaniach :) 1. Niech $(\Omega,F, Pr)$ bedzie przestrzenia probabilistyczna oraz $S_n, n = 1, 2, ..., S$ beda zmiennymi losowymi o wartosciach rzeczywistych. Pokaz, ze jezeli $S_n \rightarrow S$ wg. prawdopodobie艅stwa a h jest funkcja ciag艂a na $\mathbb{R}$, to $h(S_n)\rightarrow h(S)$ wg prawdopodobie艅stwa. 2. Niech $(\Omega,F, Pr)$ bedzie przestrzenia probabilistyczna oraz niech $X_1,X_2, . . . ,X_n . . .$ beda niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym samym rozk艂adzie. Za艂贸zmy, ze istnieje funkcja borelowska $a : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ taka, ze $E(a(X))$ staje sie pewna znana funkcja odwracalna h parametru $\theta$, tzn. $E(a(X_1)) = h(\theta)$. Pokaz, ze zmienna losowa $\hat{\theta} = h^{-1}( \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a(X_k))$ jest wg. prawdopodobienstwa zbiezna do sta艂ej $\theta= h^{-1}\{E(a(X_1))\}$. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2020-05-13 13:16:15 przez jelonek |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-05-13 12:51:50 Prosz臋 o czytelny zapis tre艣ci zada艅 w edytorze Latex. |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-05-13 16:01:06 Zadanie 1 Zgodnie z definicj膮 zbie偶no艣ci wed艂ug prawdopodobie艅stwa, mamy pokaza膰, 偶e $ Pr(|h(S_{n}) -h(S)|> \epsilon) = 0 $ Wybieramy dla $ m >1 $ i przedzia艂 $ [-(m+1), m+1] $ kt贸ry jest zbiorem sp贸jnym. Funkcja $ h $ - z za艂o偶enia ci膮g艂a, jest na tym zbiorze jednostajnie ci膮g艂a. Z definicji jednostajnej ci膮g艂o艣ci funkcji $ h $ (ci膮g艂o艣ci wed艂ug Cauchy) istnieje takie $ \delta, \varepsilon)$, 偶e dla $ |x-y|< \delta \rightarrow |h(x) - h(y)|< \varepsilon $ Za艂贸偶my, 偶e $ |h(x) - h(y)|>\varepsilon. $ Je艣li $ |x-y|< \delta $ i $ |x|<m $ to $ x,y \in [-(m+1), m+1], $ co przeczy, 偶e $ |h(x)-h(y)|>\varepsilon $ Z zasady kontrapozycji wynika implikacja $ |h(x) - h(y|>\varepsilon \rightarrow |x-y |> \delta $ lub $ |x|>m $ Mamy wi臋c $ Pr(|h(S_{n}) - h(S)|> \varepsilon) \leq Pr((|h(S_{n}) -h(S)| < \delta \cup (|S|>m)) \leq Pr(|h(S_{n})-h(S)|< \delta) + Pr(|S|>m). $ St膮d wynika, 偶e je艣li $ S_{n}\rightarrow S$ wed艂ug prawdopodobie艅stwa to $\lim_{n\to \infty} \sup Pr(|h(S_{n}) - h(S)|> \varepsilon) \leq \lim_{n\to \infty}\sup Pr(|h(S_{n})-h(S)|< \delta) + Pr(|S|>m) = Pr(|S|>m) $ Poniewa偶 $ m $ jest z g贸ry ustalon膮 liczb膮, wi臋c $\lim_{n\to \infty}\sup Pr(|h(S_{n})-h(S)|>\varepsilon) \leq \lim_{m\to \infty} Pr(|S|> m) = 0 $ Co dowodzi zbie偶no艣ci wed艂ug prawdopodobie艅stwa funkcji $h $ zmiennych losowych. c.b.d.o. Reasumuj膮c dow贸d twierdzenia jest oparty na jednostajnej ci膮g艂o艣ci funkcji ci膮g艂ej na kompakcie i na zasadzie kontrapozycji. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2020-05-13 16:35:18 przez chiacynt |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj