Probabilistyka, zadanie nr 6262
ostatnie wiadomości | regulamin | latex
Autor | Zadanie / Rozwiązanie |
jelonek postów: 3 | 2020-05-13 12:22:50 Bardzo proszę o pomoc w tych dwóch zadaniach :) 1. Niech $(\Omega,F, Pr)$ bedzie przestrzenia probabilistyczna oraz $S_n, n = 1, 2, ..., S$ beda zmiennymi losowymi o wartosciach rzeczywistych. Pokaz, ze jezeli $S_n \rightarrow S$ wg. prawdopodobieństwa a h jest funkcja ciagła na $\mathbb{R}$, to $h(S_n)\rightarrow h(S)$ wg prawdopodobieństwa. 2. Niech $(\Omega,F, Pr)$ bedzie przestrzenia probabilistyczna oraz niech $X_1,X_2, . . . ,X_n . . .$ beda niezaleznymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie. Załózmy, ze istnieje funkcja borelowska $a : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ taka, ze $E(a(X))$ staje sie pewna znana funkcja odwracalna h parametru $\theta$, tzn. $E(a(X_1)) = h(\theta)$. Pokaz, ze zmienna losowa $\hat{\theta} = h^{-1}( \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^n a(X_k))$ jest wg. prawdopodobienstwa zbiezna do stałej $\theta= h^{-1}\{E(a(X_1))\}$. Wiadomość była modyfikowana 2020-05-13 13:16:15 przez jelonek |
chiacynt postów: 749 | 2020-05-13 12:51:50 Proszę o czytelny zapis treści zadań w edytorze Latex. |
chiacynt postów: 749 | 2020-05-13 16:01:06 Zadanie 1 Zgodnie z definicją zbieżności według prawdopodobieństwa, mamy pokazać, że $ Pr(|h(S_{n}) -h(S)|> \epsilon) = 0 $ Wybieramy dla $ m >1 $ i przedział $ [-(m+1), m+1] $ który jest zbiorem spójnym. Funkcja $ h $ - z założenia ciągła, jest na tym zbiorze jednostajnie ciągła. Z definicji jednostajnej ciągłości funkcji $ h $ (ciągłości według Cauchy) istnieje takie $ \delta, \varepsilon)$, że dla $ |x-y|< \delta \rightarrow |h(x) - h(y)|< \varepsilon $ Załóżmy, że $ |h(x) - h(y)|>\varepsilon. $ Jeśli $ |x-y|< \delta $ i $ |x|<m $ to $ x,y \in [-(m+1), m+1], $ co przeczy, że $ |h(x)-h(y)|>\varepsilon $ Z zasady kontrapozycji wynika implikacja $ |h(x) - h(y|>\varepsilon \rightarrow |x-y |> \delta $ lub $ |x|>m $ Mamy więc $ Pr(|h(S_{n}) - h(S)|> \varepsilon) \leq Pr((|h(S_{n}) -h(S)| < \delta \cup (|S|>m)) \leq Pr(|h(S_{n})-h(S)|< \delta) + Pr(|S|>m). $ Stąd wynika, że jeśli $ S_{n}\rightarrow S$ według prawdopodobieństwa to $\lim_{n\to \infty} \sup Pr(|h(S_{n}) - h(S)|> \varepsilon) \leq \lim_{n\to \infty}\sup Pr(|h(S_{n})-h(S)|< \delta) + Pr(|S|>m) = Pr(|S|>m) $ Ponieważ $ m $ jest z góry ustaloną liczbą, więc $\lim_{n\to \infty}\sup Pr(|h(S_{n})-h(S)|>\varepsilon) \leq \lim_{m\to \infty} Pr(|S|> m) = 0 $ Co dowodzi zbieżności według prawdopodobieństwa funkcji $h $ zmiennych losowych. c.b.d.o. Reasumując dowód twierdzenia jest oparty na jednostajnej ciągłości funkcji ciągłej na kompakcie i na zasadzie kontrapozycji. Wiadomość była modyfikowana 2020-05-13 16:35:18 przez chiacynt |
strony: 1 |
Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj