Analiza matematyczna, zadanie nr 6275
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
trynek34 post贸w: 2 |  2020-05-17 17:54:29Cze艣膰, m贸g艂by mi kto艣 pom贸c zrobi膰 to zadanie? Mam znale藕膰 ca艂k臋 szczeg贸ln膮 uk艂adu r贸wna艅. Zadanie jest w linku: https://ibb.co/w4s2Qkd |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-05-17 18:40:57 Prosz臋 czytelnie przepisa膰 zadanie na forum u偶ywaj膮c edytora LateX. |
trynek34 post贸w: 2 | 2020-05-17 19:10:23 Znajd藕 ca艂k臋 szczeg贸ln膮 uk艂adu r贸wna艅: $x^{\'}={-3 1 \choose 2 -4}x$ spe艂niaj膮c膮 warunek pocz膮tkowy Cauchyego $ x(0)={1 \choose 0}$, gdzie$ x(t)={x_{1}(t) \choose x_{2}(t)}$ |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-05-17 22:43:42 W Pa艅skim zapisie macierzy brakuje & dla oddzielenia element贸w w wierszach. Rozwi膮zaniem og贸lnym uk艂adu r贸wna艅 jest trajektoria $\left[\begin{matrix} x_{1}(t)\\ x_{2}(t) \end{matrix} \right]= e^{tA} \left[\begin{matrix} x_{10} \\ x_{20} \end{matrix} \right] $ Znajdujemy exponent macierzy $ e^{tA} $ uk艂adu, w tym celu przeprowadzamy diagonalizacj臋 macierzy $ A $ uk艂adu. Wielomian charakterystyczny macierzy $ \det( A - \lambda I) = \det \left[\begin{matrix} -3-\lambda & 1 \\ 2 & -4 - \lambda \end{matrix} \right] = (3+\lambda)(4+\lambda) -2 = 0 $ $ \lambda^2 +7\lambda +10 = 0 $ $ \lambda_{1} = -2, \ \ \lambda_{2}= -5 $ Obliczamy wsp贸艂rz臋dne wektor贸w w艂asnych macierzy. $ \ker( A + 2I) = \ker \left[\begin{matrix}-1 & 1 \\ 2 & -2 \end{matrix} \right] = span \left[ \begin{matrix}1\\ 1\end{matrix}\right] $ $ \ker( A + 5I) = \ker \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] = span \left[ \begin{matrix}1\\ -2\end{matrix}\right]$ Macierz diagonalizuj膮ca $ P = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix}\right] $ $ P^{-1} = -\frac{1}{3}\left[\begin{matrix} -2 & -1\\ -1 & 1\end{matrix}\right]$ St膮d $ e^{tA} = -\frac{1}{3} \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix} e^{-2t} & 0 \\ 0 & e^{-5t} \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} -2 & -1\\ -1 & 1\end{matrix}\right] $ Prosz臋 wymno偶y膰 powy偶sze macierze, znajduj膮c exponent macierzy $ e^{tA} $ uk艂adu. Rozwi膮zanie og贸lne r贸wnania jednorodnego RORJ $ \left[\begin{matrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{matrix} \right] = e^{tA}\left[\begin{matrix} x_{10} \\ x_{20} \end{matrix} \right] (*) $ Podstawiamy do (*) warunki pocz膮tkowe, znajduj膮c warto艣ci liczbowe $ x_{10}, x_{20} $ i rozwi膮zanie szczeg贸lne uk艂adu. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj