Analiza matematyczna, zadanie nr 6275

Autor	Zadanie / Rozwiązanie
trynek34 postów: 2	2020-05-17 17:54:29 Cześć, mógłby mi ktoś pomóc zrobić to zadanie? Mam znaleźć całkę szczególną układu równań. Zadanie jest w linku: https://ibb.co/w4s2Qkd

chiacynt postów: 749	2020-05-17 18:40:57 Proszę czytelnie przepisać zadanie na forum używając edytora LateX.

trynek34 postów: 2	2020-05-17 19:10:23 Znajdź całkę szczególną układu równań: $x^{'}={-3 1 \choose 2 -4}x$ spełniającą warunek początkowy Cauchyego $ x(0)={1 \choose 0}$, gdzie$ x(t)={x_{1}(t) \choose x_{2}(t)}$

chiacynt postów: 749	2020-05-17 22:43:42 W Pańskim zapisie macierzy brakuje & dla oddzielenia elementów w wierszach. Rozwiązaniem ogólnym układu równań jest trajektoria $\left[\begin{matrix} x_{1}(t)\\ x_{2}(t) \end{matrix} \right]= e^{tA} \left[\begin{matrix} x_{10} \\ x_{20} \end{matrix} \right] $ Znajdujemy exponent macierzy $ e^{tA} $ układu, w tym celu przeprowadzamy diagonalizację macierzy $ A $ układu. Wielomian charakterystyczny macierzy $ \det( A - \lambda I) = \det \left[\begin{matrix} -3-\lambda & 1 \\ 2 & -4 - \lambda \end{matrix} \right] = (3+\lambda)(4+\lambda) -2 = 0 $ $ \lambda^2 +7\lambda +10 = 0 $ $ \lambda_{1} = -2, \ \ \lambda_{2}= -5 $ Obliczamy współrzędne wektorów własnych macierzy. $ \ker( A + 2I) = \ker \left[\begin{matrix}-1 & 1 \\ 2 & -2 \end{matrix} \right] = span \left[ \begin{matrix}1\\ 1\end{matrix}\right] $ $ \ker( A + 5I) = \ker \left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right] = span \left[ \begin{matrix}1\\ -2\end{matrix}\right]$ Macierz diagonalizująca $ P = \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix}\right] $ $ P^{-1} = -\frac{1}{3}\left[\begin{matrix} -2 & -1\\ -1 & 1\end{matrix}\right]$ Stąd $ e^{tA} = -\frac{1}{3} \left[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{matrix}\right]\left[ \begin{matrix} e^{-2t} & 0 \\ 0 & e^{-5t} \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix} -2 & -1\\ -1 & 1\end{matrix}\right] $ Proszę wymnożyć powyższe macierze, znajdując exponent macierzy $ e^{tA} $ układu. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego RORJ $ \left[\begin{matrix} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{matrix} \right] = e^{tA}\left[\begin{matrix} x_{10} \\ x_{20} \end{matrix} \right] () $ Podstawiamy do () warunki początkowe, znajdując wartości liczbowe $ x_{10}, x_{20} $ i rozwiązanie szczególne układu.

strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj