Analiza matematyczna, zadanie nr 6276
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
olikacz post贸w: 23 |  2020-05-18 10:25:42Poka偶, 偶e je艣li ci膮g $(f_{n})_{n\in N}$ funkcji ci膮g艂ych na [a,b] jest zbie偶ny jednostajnie na tym zbiorze do funkcji f, to $\lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx $ |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-05-18 15:55:33 Dow贸d Przedzia艂$ [a, b] $ jest zbiorem ograniczonym, zwartym wi臋c ci膮g funkcji ci膮g艂ych $ (f_{n})_{n\in N} $ jest na tym zbiorze ograniczony. To stwierdzenie nie jest przedmiotem dowodu, ale wypada艂o by to pokaza膰. Z definicji jednostajnej ci膮g艂o艣ci wynika, 偶e istnieje taka liczba $ \varepsilon > 0, $ i takie $ N(\varepsilon), $ 偶e zachodz膮 nier贸wno艣ci $ f_{n} - \frac{\varepsilon}{4(b-a)} \leq f(x) \leq f_{n} + \frac{\varepsilon}{4(b-a)}$ dla ka偶dego $ x\in [a, b] $ i $ n\geq N.$ Z tego wynika, 偶e dla ka偶dego $ n\geq N $ i podzia艂u $ P $przedzia艂u $ [a, b] $ spe艂nione s膮 nier贸wno艣ci $ \underline{S}(f_{n}, P)-\frac{\varepsilon}{4} \leq \underline{S}( f, P) \leq \overline{S}(f, P) \leq \overline{S}(f_{n}, P) + \frac{\varepsilon}{4} $ St膮d $ \overline{S}(f, P) - \underline{S}( f, P) \leq \overline{S}(f_{n}, P)- \underline{S}(f_{n}, P) + \frac{\varepsilon}{2} $ Funkcje $ f_{n}(t) $ s膮 ca艂kowalne wi臋c $ |f_{n}(t) - f(t)| \leq \frac4{\varepsilon}{(b-a)}$ dla $ n\geq N $ i ka偶dego $ t\in R.$ $ \left |\int_{a}^{b} f_{n}dt - \int_{a}^{b} f(t) \right|\leq \int_{a}^{b} |f_{n} - f(t)|dt \leq \frac{\varepsilon}{4}, $ a to oznacza $ \lim_{n\to \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(t) dt = \int_{a}^{b} f(t)dt.$ c.b.d.o. |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj