Probabilistyka, zadanie nr 6279
ostatnie wiadomo艣ci | regulamin | latex
| Autor | Zadanie / Rozwi膮zanie |
lovegood post贸w: 7 |  2020-05-18 18:49:22Niech ($\Omega$, F, Pr) b臋dzie przestrzeni膮 probabilistyczn膮 oraz niech $ X_1,X_2, \ldots ,X_n, \ldots $ bed膮 niezale偶nymi zmiennymi losowymi o tym samym rozk艂adzie Pr ($\omega$;$X_i(\omega) = 1) = p$, Pr($\omega;X_i(\omega) = 0) = 1-p$ dla $i \in \{1, 2, . . . , n\}.$ Przez $X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ oznaczamy zmienn膮 losow膮 dan膮 wzorem $X(\omega) = \sum_{k=1}^\infty \frac{X_k(\omega)}{2^k}$. Poka偶, 偶e je艣li $p \neq \frac{1}{2}$ to rozk艂ad zmiennej losowej X jest osobliwy. Wiadomo艣膰 by艂a modyfikowana 2020-05-18 19:03:55 przez lovegood |
chiacynt post贸w: 749 | 2020-05-18 21:40:51 Zmienna losowa $ Y $ ma rozk艂ad osobliwy (singularny) je艣li jej dystrybuanta jest funkcj膮 ci膮g艂膮 i istnieje taki podzbi贸r $ A\subset R $, 偶e miara Lebesque\'a na tym zbiorze $ \lambda(A) = 0 $ W naszym przypadku je艣li zmienne losowe $ X_{1}, X_{2},...,X_{n},... $ s膮 zmiennymi niezale偶nymi takimi, 偶e $ P(X_{k} =1) = p \neq \frac{1}{2}$ Wtedy zmienna losowa $ X = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{X_{k}}{2^{k}} $ ma rozk艂ad osobliwy czyli singularny. Dow贸d Dla dowolnej liczby $ \alpha \in [0, 1], \ \ P(X = \alpha) = 0,$ wi臋c dystrybuanta $ F(\alpha) = P(X<\alpha) $ jest funkcj膮 ci膮g艂膮. Z Mocnego Prawa Wielkich Liczb (MPWL) wynika 偶e $ P\left(\lim_{k\to\infty} \frac{X_{1}+X_{2}+ ...+X_{k}}{k} = p \right) = 1\neq \frac{1}{2} $. Zmienna losowa $ X $ przyjmuje warto艣膰 ze zbioru dope艂nienia liczb normalnych podstawie $ 2 $ do przedzia艂u $ [0, 1 ] $, kt贸rego miara Lebesque\'a $ \lambda(A) = 0.$ Tym samym wykazali艣my, 偶e zmienna losowa $ X $ jest osobliwa (inaczej o rozk艂adzie osobliwym), bo jej rozk艂ad skupiony jest na nieprzeliczalnym zbiorze o d艂ugo艣ci 0 (na dope艂nieniu zbioru liczb normalnych o podstawie $ 2 $), tzn. prawdopodobie艅stwo tego, 偶e zmienna ta przyjmuje warto艣ci z tego zbioru, wynosi $ 1, $ przy czym $P(X = x) = 0 $ dla ka偶dego $ x \in R.$ |
lovegood post贸w: 7 | 2020-05-24 12:38:26 Dzi臋kuj臋 bardzo za pomoc!!! |
| strony: 1 | |
Prawo do pisania przys艂uguje tylko zalogowanym u偶ytkownikom. Zaloguj si臋 lub zarejestruj