logowanie

matematyka » forum » forum zadaniowe - uczelnie wyższe » zadanie

Statystyka, zadanie nr 6321

ostatnie wiadomości  |  regulamin  |  latex

AutorZadanie / Rozwiązanie

dzbanzmatmy
postów: 6
2020-05-30 22:42:25

Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkłady normalne:
$X\sim N(0,1), Y \sim N(0,1)$ Znaleźć rozkład zmiennej losowej $Z= (X-Y, X+Y)$. [Wskazówka: wykorzystaj fakt, ze suma zmiennych losowych o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny;tak samo różnica.]

Wiadomość była modyfikowana 2020-05-30 22:44:43 przez dzbanzmatmy

chiacynt
postów: 749
2020-05-30 23:50:22

Brak czytelnego zapisu zadania w edytorze LateX.

a)

$ X\sim \mathcal{N}(0,1), \ \ Y\sim \mathcal{N}(0,1) $

Proszę znaleźć rozkład łączny zmiennej losowej $ Z = (X -Y, X+Y) $

Rozwiązanie

Gęstość łączna wektora losowego $ (X Y ) $ dana jest wzorem (zakładamy, ż współczynnik korelacji $ \rho = 0 $

$ f_{(X,Y)}(x,y) = \frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}(x^2+y^2)} $ dla $ (x,y)\in R^2 $

Odwzorowanie $ \phi: R^2 \rightarrow R^2 $ określone jest wzorem

$ \phi(x,y) = (x-y, x+y) $

Jakobian tego odwzorowania

$ J(x,y) = \left| \begin{matrix} 1 & 1\\ -1 & 1\end{matrix}\right | = 2 \neq 0 $ dla $ (x,y) \in R^2 $

Z układu równań

$ \begin{cases}u = x -y \\ w = x + y \end{cases} $

znajdujemy

$ \begin{cases} x = \frac{u+w}{2} \\ y = \frac{w-u}{2} \end{cases} $ dla $ (u,v)\in R^2 $

Korzystając ze wzoru


$ f_(Z)(u,v) = f_{(U,W)}(u,w) = f_{(X,Y)}[x(u,w),y(u,w)] \frac{1}{|J_{\phi}(x,y)|} $

znajdujemy gęstość łączną wektora losowego $ Z = (X-Y, X+Y)$

$ f_{Z} = \frac{1}{4} e^{-\frac{1}{2}[\frac{(u+w)^2}{4}+ \frac{(w-u)^2}{4}]} $

Po uproszczeniu wykładnika potęgi

$ f_{Z}(u,v) =\frac{1}{4} e^{-\frac{1}{2}\frac{u^2+w^2}{2}} $


strony: 1

Prawo do pisania przysługuje tylko zalogowanym użytkownikom. Zaloguj się lub zarejestruj





© 2019 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt   drukuj